Question

5．如图所示，CDE为竖直面内的圆弧轨道，圆弧轨道左端C与平台侧面接触，平台表面AB与圆心O及圆弧E点在同一水平面上，一物块静止在平台上A点，用一水平拉力拉物块A，运动到B点时撤去拉力，物块从B点以一定的速度抛出，落在圆弧轨道上，已知BC间的距离为h，圆弧轨道的半径为R，重力加速度为g，物块的质量为m，物块与平台间的动摩擦因数为μ，AB间的距离为L，求：
（1）若要使物块能落到圆弧的最低点，水平拉力做功应该为多少？
（2）若要使物块落到圆弧轨道上时，速度垂直于圆弧面，水平拉力做功应该为多少？

Answer 1

分析 （1）物块从B点以一定的速度抛出后做平抛运动，若落在落到圆弧的最低点，根据几何关系得出平抛运动的水平位移和竖直位移，再根据平抛运动基本公式求出B点速度，从A到B的过程中，根据动能定理即可求解；
（2）物块落到圆弧轨道上时，速度垂直于圆弧面，根据末速度的反向延长线通过水平位移的中点结合几何关系得出平抛运动的水平位移和竖直位移，再根据平抛运动基本公式求出B点速度，从A到B的过程中，根据动能定理即可求解．

解答 解：（1）物块从B点以一定的速度抛出后做平抛运动，若落在落到圆弧的最低点，则竖直位移y=R，
根据几何关系得水平位移为：
x=OB=$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，
根据平抛运动基本公式得：
t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
B点速度为：
${v}_{B}=\frac{x}{t}=\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}=\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}•\sqrt{\frac{g}{2R}}$，
从A到B的过程中，根据动能定理得：
W-μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：W=$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{4R}+μmgL$
（2）物块落到圆弧轨道上时，速度垂直于圆弧面，如图所示：

根据平抛运动末速度的反向延长线通过水平位移的中点可知：
水平位移为：$x′=2OB=2\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，
竖直位移为：$y′=\sqrt{{R}^{2}-（OB）^{2}}$=h
则有：t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
B点速度为：${v}_{B}′=\frac{x′}{t′}$=$\frac{2\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=2\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}•\sqrt{\frac{g}{2h}}$
从A到B的过程中，根据动能定理得：
W′-μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}′}^{2}$
解得：W′=$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{h}+μmgL$
答：（1）若要使物块能落到圆弧的最低点，水平拉力做功应该为$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{4R}+μmgL$；
（2）若要使物块落到圆弧轨道上时，速度垂直于圆弧面，水平拉力做功应该为$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{h}+μmgL$．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式以及动能定理的直接应用，知道平抛运动在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，注意几何关系在解题中的应用，难度适中．