Question

如图，一质量为M=0.4kg的特制玩具小车停在水平轨道上A处，小车前部有一光滑短水平板，平板距离水平轨道竖直高度为h=6cm，平板上静置一质量为m=0.2kg的小球，另一半径为R=47cm的固定半圆轨道CB与水平轨道在同一竖直平面内相接于点B，半圆轨道过B点的切线水平，与小车前部的光滑平板等高．玩具小车在距B点水平距离为L=4.8m处装着小球以恒定功率P₀=8W启动，假设他们水平轨道上受到的阻力恒定，当它们达到最大速度时，小车恰好与半圆轨道在B点相碰，且碰后立即停止，而小球则进入半圆轨道，在B点时其速度V_B=8m/s，即与小车最大速度相同，小球上升到C点时速度水平大小为V_C=4m/s，之后再水平射出又落在水平轨道上的D点．试求：（不计空气阻力，g=10m/s²）
（1）小球最后落到水平轨道上D点时的速度大小；
（2）小球经过半圆轨道过程中，克服摩擦阻力做的功；
（3）小车在水平轨道上加速所用时间．

Answer 1

分析：（1）小球从C到D的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律求出小球最后落到水平轨道上D点时的速度大小．
（2）对小球B到C的过程运用动能定理，求出克服摩擦阻力做功的大小．
（3）当小车所受的阻力和牵引力相等时，速度最大，对小车和小球整体在A到B的过程中运用动能定理，求出加速运动的时间．

解答：解：（1）小球从C到D机械能守恒，以水平轨道为零势面，有：mg(2R+h)+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 D

代入数据得：vD=

2g(2R+h)+ v 2 C

=

20×(2×0.47+0.06)+16

=6m/s．
（2）小球从B到C克服阻力做功为W_阻，由动能定理有：-mg2R-W阻=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

得：W阻=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 C

-2mgR
代入数据解得W_阻=2.92J．
（3）小车和小球从A到B，由动能定理有：P0t-fL=

1

2

(M+m)

v

2 B

又因为达到最大速度V_B时，有：P₀=F_牵v_B=fv_B
联立并代入数据得小车加速时间为t=3s  
答：（1）小球最后落到水平轨道上D点时的速度大小为6m/s．
（2）小球经过半圆轨道过程中，克服摩擦阻力做的功为2.92J．
（3）小车在水平轨道上加速所用时间为3s．

点评：本题考查了动能定理、机械能守恒定律的综合运用，关键理清运动过程，选择好研究的对象和研究的过程，运用动能定理进行求解．