Question

7．如图甲所示，一块长度为L=4m、质量为M=4kg的长木板静止放置在粗糙水平地面上．另有一质量为m=0.4kg的小铅块（可看做质点），以v₀=5.5m/s的水平初速度向右冲上木板．己知铅块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.4，木板与地面间的动摩擦因数为μ₂=0.1，重力加速度取g=10m/s²．
（1）求铅块最终停在木板上的位置离木板最右端的距离d₁（结果用分数表示）；
（2）若将木板平均分割成相同的八个木块，如图乙所示，其它条件不变：
①求木块开始运动瞬间．铅块的速度大小v₁以及此时木块的加速度大小a₁；
②确定铅块最终停在哪一块木块上并求出其停在该木块上的位置离该木块最右端的距离d₂（计算结果用分数表示）．

Answer 1

分析 （1）根据铅块对木板的滑动摩擦力和地面对铅块的最大静摩擦力相比，可得出木板静止不动，对铅块，运用动能定理可求得铅块最终停在木板上的位置离木板最右端的距离d₁．
（2）①根据铅块对木板的滑动摩擦力和地面对木板的最大静摩力关系，分析铅块滑上第7块木块前，所有木块静止，滑上第7块瞬间，第7、8块木块开始滑动．对铅块和第7、8两块木块，运用牛顿第二定律求加速度．
②第7块木块作为参考，分析铅块相对于第7块木块的运动，由速度位移关系式列式．对第8块木块，由牛顿第二定律求出加速度，再第8块木块作为参考，由牛顿第二定律和运动学公式研究铅块在第8块木块上运动过程，即可求解．

解答 解：（1）因为 μ₁mg＜μ₂（m+M）g，所以铅块冲上木板后木板一直相对于静止不动．对铅块，由动能定理得：
0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-μ₁mg（L-d₁）
可得：d₁=$\frac{7}{32}$m
（2）①因为 μ₂（m+$\frac{2}{8}$M）g＜μ₁mg＜μ₂（m+$\frac{3}{8}$M）g，所以铅块滑上第7块木块前，所有木块相对于地静止，滑上第7块木块瞬间，第7、8块木块开始运动．由牛顿第二定律，对铅块：μ₁mg=ma₀，得a₀=4m/s²，方向向左．
对第7、8块木块：μ₁mg-μ₂（m+$\frac{2}{8}$M）g=$\frac{2}{8}$Ma₁，得a₁=0.2m/s²，方向向右．
铅块冲上第7块木块瞬间速度为 v₁，则
${v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{0}•\frac{6}{8}L$，得 v₁=2.5m/s
②设铅块滑上第8块木块瞬间速度为v₂，则研究铅块在第7块上的相对运动，以第7块木块作为参考，则有：
${v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}=2（{a}_{0}+{a}_{1}）•\frac{L}{8}$
对第8块木块：μ₁mg-μ₂（m+$\frac{1}{8}$M）g=$\frac{1}{8}$Ma₂，得a₂=1.4m/s²，方向向右．
则铅块在第8块上的相对运动，以第8块木块作为参考，则有：
${v}_{2}^{2}$-0=2$（{a}_{0}+{a}_{2}）•（\frac{L}{8}-{d}_{2}）$
解得：d₂=$\frac{67}{216}$m
答：（1）铅块最终停在木板上的位置离木板最右端的距离d₁是$\frac{7}{32}$m．
（2）①木块开始运动瞬间．铅块的速度大小v₁为2.5m/s，此时木块的加速度大小a₁是2.5m/s²，方向向右．
②铅块最终停在第8块木块上，其停在该木块上的位置离该木块最右端的距离d₂是$\frac{67}{216}$m．

点评 本题分析清楚铅块与木块的运动过程是关键，要明确木块能发生运动的条件：外力大于最大静摩擦力，应用摩擦力公式、动能定理、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．