Question

如图所示，将质量M=1.20kg的小沙箱，用轻质软绳（不可伸长）悬挂起来，开始处于静止状态，绳的长度l=0.80m．用枪向沙箱发射质量m=0.05kg的子弹，子弹以v₀=100m/s 的速度向右水平击中小沙箱，并留在小砂箱中，小沙箱在竖直平面内向上摆动．假设沙箱每次向左运动到最低点时就恰好有一颗同样速度的子弹射入沙箱，子弹射入沙箱的过程经历时间极短，可忽略不计，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力．
（1）求第一颗子弹射入沙箱的过程中子弹对砂箱的冲量大小；
（2）求第一颗子弹射入沙箱并相对沙箱静止的瞬间，求砂箱对绳的拉力的大小；
（3）求第一颗子弹射入沙箱后，砂箱摆动的最大高度；
（4）要使沙箱摆动的最大角度小于60°，射入沙箱的子弹数目至少为多少？

Answer 1

分析：（1）子弹射入砂箱的过程中，两者组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出子弹射入砂箱后瞬间的共同速度，再对砂箱，运用动量定理求解子弹对砂箱的冲量大小；
（2）以砂箱和子弹整体为研究对象，由牛顿第二定律和向心力公式结合求解即可．
（3）第一颗子弹击中砂箱后，砂箱向上摆动到最大高度的过程中，由机械能守恒定律求解最大高度．
（4）子弹射入砂柞的过程中，系统动量守恒，运用归纳法，由动量守恒定律可以求出n颗钢珠射入砂箱后，砂箱的速度；砂摆要回到释放时的高度，结合机械能守恒求出n．

解答：解：（1）设第一颗子弹击中砂箱后，砂箱的速度为v₁，由动量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₁
解得：v₁=

m

m+M

v0=4 m/s     
对砂箱用动量定理得：I=Mv₁-0=4.8 N?s    
（2）以砂箱和子弹整体为研究对象，设绳的拉力为F，由牛顿第二定律和向心力公式：
  F-（m+M）g=（m+M）

v 2 1

l

解得：F=（m+M）（

v 2 1

l

+g）=37.5 N    
（3）设第一颗子弹击中砂箱后，砂箱摆动的最大高度为h，由机械能守恒定律：
（m+M）gh=

1

2

(M+m)

v

2 1

解得：h=0.8 m   
（4）设第二颗子弹击中砂箱后，砂箱的速度为v₂：
   mv₀-（m+M）v₁=（2m+M）v₂，得v₂=0     
设第三颗子弹击中砂箱后，砂箱的速度为v₃：
mv₀=（3m+M）v₃，得v₃=

m

3m+M

v0
所以子弹击中砂箱后砂箱的速度为：
  v_n=0   （n为偶数）  v_n=

m

nm+M

v0 （n为奇数）  
设第n颗子弹击中砂箱后，砂箱摆动的最大角度为α=60°：

1

2

(nm+M)

v

2 n

=（nm+M）gl（1-cos60°）
解得：n=11.4   所以射入沙箱的子弹数目最少为13颗．  
答：
（1）第一颗子弹射入沙箱的过程中子弹对砂箱的冲量大小是4.8 N?s；
（2）第一颗子弹射入沙箱并相对沙箱静止的瞬间，砂箱对绳的拉力的大小为37.5 N；
（3）第一颗子弹射入沙箱后，砂箱摆动的最大高度是0.8m；
（4）要使沙箱摆动的最大角度小于60°，射入沙箱的子弹数目至少为13．

点评：动量是矢量，动量守恒定律方程是矢量方程，在应用动量守恒定律解题时，要注意正方向的选择．关键要运用归纳法分析规律进行求解第4题．