Question

9．如图所示，平面直角坐标系xOy中，平行板电容器位于y轴左侧，其中线O₁O与x轴重合，y轴右侧存在一与y轴相切的圆形磁场区域，圆心O₂在x轴上，PQ为与x轴垂直的直径的两个端点，磁场方向垂直纸面向外，已知电容器两板长为L，两板间距为d，下板接地，上板的电势随时间变化的关系如图所示，磁场区域的半径为$\frac{3}{4}$d．从t=0时刻开始，大量的电荷量为q、质量为m的带负电粒子从Q₁以速度v₀沿x轴方向持续射入电场，粒子在电场中的运动时间与电场的变化周期相等，发现t=0时刻射入的粒子恰由下板边缘飞出，通过磁场后由P点离开，求：
（1）U₀的值；
（2）磁场的磁感应强度B₀的值；
（3）将磁场的磁感应强度变为$\frac{{B}_{0}}{2}$，请确定在磁场中运动时间最长的粒子进入磁场时位置的横坐标．

Answer 1

分析 （1）由于粒子在电场中的运动时间与电场的变化周期相等，所以粒子y方向先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度大小相同，所用时间相同，粒子离开电场时粒子恰好从下边水平缘射出进入磁场，由牛顿第二定律和运动学公式就能求出加速电压．
（2）画出粒子在磁场中运动的轨迹，由几何关系求出粒子做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力，求得磁感应强度B₀．
（3）磁感应强度减半后，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径变为原来的2倍，要使粒子在磁场中的时间最长，则轨迹弧所对的弦长应对应圆形磁场的直径．画出轨迹，由几何关系就能求出入射点的位置坐标．

解答 解：（1）设电场周期为T，粒子在电场中的运动时间与电场的变化周期相等，由题意可知：
t=0时刻射入电场的粒子在电场中沿x方向做匀速运动，所以y方向先做匀加速运动，后做匀
减速运动，加速度大小相同，所用时间相同，粒子离开电场时有：
v_y=a$\frac{T}{2}$-a $\frac{T}{2}$=0               
粒子恰好从下边水平缘射出，则沿y方向的位移为：
$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²+$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²       
T=$\frac{L}{{v}_{0}}$                        
由牛顿第二定律得：qE=ma        
U₀=Ed           
解得：U₀=$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}{d}^{2}}{q{L}^{2}}$         
（2）粒子自A点水平进入进入磁场，r为粒子的轨道半径，O₃为圆心，在磁场中运动的轨迹如图，
由O₂P=O₂A=R，O₃P=O₃A=r，O₃A∥O₂P可知?O₃AO₂P为菱形．
所以有  r=R=$\frac{3}{4}d$                
在磁场中，洛伦兹力作为向心力，由牛顿第二定律得：
qv₀B₀=m$\frac{v02}{r}$               
所以：B₀=$\frac{4mv0}{3qd}$    
（3）当磁感应强度变为$\frac{{B}_{0}}{2}$，同理可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径变为r′=2r=$\frac{3}{2}d$，要使水
平进入的粒子运动时间最长，则必使粒子在圆形磁场区域轨迹弧长最长，弦长也最长--即为圆形
区域的直径，轨迹如图所示，
由几何关系知道进入磁场的B点的位置坐标为：
 x_B=R-Rsin60°=$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$
 y_B=-Rcos60°=$-\frac{3}{8}d$            
进入磁场的位置坐标为（$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$，$-\frac{3}{8}d$）
答：（1）U₀的值为$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}{d}^{2}}{q{L}^{2}}$．
（2）磁场的磁感应强度B₀的值是$\frac{4mv0}{3qd}$．
 （3）将磁场的磁感应强度变为$\frac{{B}_{0}}{2}$，在磁场中运动时间最长的粒子进入磁场时位置的横坐标是（$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$，$-\frac{3}{8}d$）．

点评 本题的靓点有两个：①粒子先在竖直方向上做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，由于加速大小相等而方向相反，则离开电场的速度沿水平方向．②磁场减半时，半径加倍，要使粒子在磁场中的运动时间最长，则轨迹弧所对的弦长应为磁场圆的直径，由几何关系就能求出入射点的坐标．