Question

回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展．
（1）当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程．若碳11的半衰期τ为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果取2位有效数字）
（2）回旋加速器的原理如图，D₁和D₂是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D₁圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D₁、D₂置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中．若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速）
（3）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？

Answer 1

分析：（1）根据质量数守恒和核电荷数守恒书写核反应方程式．根据半衰期的定义写成剩余质量和总质量的关系式即可求解．
（2）根据电流的定义式I=

Q

t

和Q=Nq以及P=

N 1 2 mv2

t

求解．
（3）求出r_k所对应的加速次数和r_k+1所对应的加速次数即可求出它们所对应的轨道半径，然后作差即可求出r_k和r_k+1，从而求出△r_k，运用同样的方法求出△r_k+1，比较△r_k和△r_k+1即可得出答案．

解答：解：（1）核反应方程为₇¹⁴N+₁¹H→₆¹¹C+₂⁴He…①
设碳11原有质量为m₀，经过t=2.0h剩余的质量为m_t，根据半衰期定义，有：

mt

m0

=(

1

2

)

t

τ

=(

1

2

)

120

20

=1.6%…②
（2）设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知：qvB=m

v2

R

…③
质子运动的回旋周期为：T=

2πR

v

=

2πm

qB

…④
由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系可得：f=

1

T

…⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率P=

N? 1 2 mv2

t

…⑥
输出时质子束的等效电流为：I=

Nq

t

…⑦
由上述各式得I=

P

πBR2f

（3）方法一：
设k（k∈N^*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k，v_k+1，D₁、D₂之间的电压为U，
由动能定理知2qU=

1

2

m

v

2 k+1

-

1

2

m

v

2 k

…⑧
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知rk=

mvk

qB

，
则2qU=

q2B2

2m

(

r

2 k+1

-

r

2 k

)…⑨
整理得 △rk=

4mU

qB2(rk+1-rk)

…⑩
因U、q、m、B均为定值，令C=

4mU

qB2

，由上式得△rk=

C

rk+rk+1

…（11）
相邻轨道半径r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理 △rk=

C

rk+1+rk+2

因为r_k+2＞r_k，比较△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小
方法二：
设k（k∈N*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k，v_k+1，D₁、D₂之间的电压为U
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知rk=

mvk

qB

，故

rk

rk+1

=

vk

vk+1

…（12）
由动能定理知，质子每加速一次，其动能增量△E_k=qU  …（13）
以质子在D₂盒中运动为例，第k次进入D₂时，被电场加速（2k-1）次
速度大小为vk=

(2k-1)2qU m

…（14）
同理，质子第（k+1）次进入D₂时，被电场加速（2k+1）次，速度大小为vk+1=

(2k+1)2qU m

综合上述各式可得

rk

rk+1

=

vk

vk+1

=

2k-1 2k+1

整理得

r 2 k

r 2 k+1

=

2k-1

2k+1

，

r 2 k+1 - r 2 k

r 2 k+1

=

2

2k+1

△rk=

2 r 2 k+1

(2k+1)(rk+rk+1)

同理，对于相邻轨道半径r_k+1，r_k+2，△r_k+1=r_k+2-r_k+1，整理后有
△rk+1=

2 r 2 k+1

(2k+1)(rk+1+rk+2)

由于r_k+2＞r_k，比较△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小，用同样的方法也可得到质子在D₁盒中运动时具有相同的结论．

点评：本题的难点是（3），要求△r_k需要知道r_k和r_k+1，同理算出△r_k+1，对△r_k和△r_k+1，即可得出答案．