Question

20．如图所示，有一块木板静止在光滑水平面上，木板质量为M=4kg，长L=1.4m，木板右端放着一个小滑块，小滑块质量m=1kg，其尺寸远小于L，它与木板之间的动摩擦因数μ=0.4，g=10m/s²．
（1）现用水平向右的恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上滑落下来，求F的大小范围；
（2）其他条件不变，恒力F=22.8N，且始终作用在M上，求m在M上滑动的时间；
（3）若水平力F=28N向右拉木板，要使小滑块从木板上掉下来，力F作用的时间至少要多长？

Answer 1

分析 （1）小物块在木板上滑动时，根据牛顿第二定律，求出木块和木板的加速度，当木板的加速度大于木木块的加速度时，m就会从M上滑落下来．
（2）恒力F=22.8N，m在M上发生相对滑动，设m在M上面滑动的时间为t，求出木块在t内的位移，两者位移之差等于木板的长度L．
（3）小滑块从木板上掉下来时，由位移公式和位移关系列式得到此时板长与时间的关系．由运动学公式得到撤去F时滑块与木板的速度和时间的关系．当滑块刚好滑到木板的最左端，两者的速度相等，M与m的位移之差等于板长L．位移撤去F后，系统的动量守恒和能量守恒，由两大守恒定律列式，再联立，就可求出F最短作用时间．

解答 解：（1）m发生相对滑动时的临界加速度a₁=μg=0.4×10m/s²=4m/s²，
对整体分析，根据牛顿第二定律得，F的最小值F_min=（M+m）a₁=5×4N=20N，
则F＞20N．
（2）设m在M上滑动的时间为t，当恒力F=22.8N，木板的加速度${a}_{2}=\frac{F-μmg}{M}$，
小滑块在时间t内运动位移${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，
木板的位移${s}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$，
根据s₂-s₁=L
代入数据解得t=2s．
（3）设最短的时间为t，则$x′=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{（6-4）{t}^{2}}{2}={t}^{2}$，①
此时，滑块速度 v₁=a₁t=4t  ②
木板速度 v₂=a₂t=6t  ③
撤去F后，若滑块刚好滑到木板的最左端，两者速度相等，由系统动量守恒，有
  mv₁+Mv₂=（M+m）v
得 v=$\frac{28t}{5}$，④
由能量守恒有 $μmg（L-x′）=\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$$-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，⑤
解①、②、③、④、⑤式，代入数据得   t=1s
答：（1）F的大小范围为F＞20N．
（2）m在M上滑动的时间为2s．
（3）力F作用的时间至少要1s．

点评 本题首先要分析物体的运动情况，其次把握滑块不从木板上滑下的条件，即两物体之间的几何关系．再结合动量守恒、牛顿第二定律、运动学规律和能量守恒列式求解．