Question

如图所示，在光滑绝缘水平面上固定着-根光滑绝缘的圆形水平渭槽，其圆心在O点．过O点的-条直径上的A、B两点固定着两个点电荷．其中固定于A点的为正电荷，电荷量大小为Q；固定于B点的是未知电荷．在它们形成的电场中，有-个可视为质点的质量为m、电荷量大小为q的带电小球正在滑槽中运动，小球的速度方向平行于水平面，若已知小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度，AB间的距离为L，∠ABC=∠ACB=30°，CO⊥OB，静电力常量为k，
（1）作出小球在水平面上受力，并确定固定在B点的电荷及小球的带电性质：
（2）求B点电荷的电荷量大小；
（3）已知点电荷的电势计算式为：φ=kQ/r，式中Q为场源电荷的电荷量，r为该点到场源电荷的距离．试利用此式证明小球在滑槽内做的是匀速圆周运动．

Answer 1

分析：（1）小球做圆周运动，必须有向心力，根据小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度可知，小球在C点的合力方向一定沿CO且指向O点，作出力图，即可判断出小球带负电，B带负电．若小球带正电，B带负电，小球在C点受到A的排斥力，受到B的吸引力，根据平行边形定则可知，两者的合力方向不可能沿CO且指向O点，所以小球带正电，B带负电是不可能的．
（2）根据小球在C点无切向加速度，切线方向力平衡，根据库仑定律列式求得B的电荷量．
（3）以O为原点，OB为x轴正方向，OC为y轴正方向，研究槽上某点[坐标为（x，y）]的电势，分析得到其电势能不变，即可得到动能不变．

解答：解：（1）由小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度，可知小球在C点的合力方向一定沿CO且指向O点，所以A处电荷对小球吸引，B处电荷对小球排斥，因为A处电荷为正，所以小球带负电，B带负电，如图所示．
若小球带正电，B带负电，小球在C点受到A的排斥力，受到B的吸引力，根据平行边形定则可知，两者的合力方向不可能沿CO且指向O点，所以小球带正电，B带负电是不可能的．
（2）因为∠ABC=∠ACB=30°，CO⊥OB，由几何关系得：BC=2ABcos30°=

3

L
由于无切向加速度，小球沿切线方向的合力为零，则有
   k

Qq

L2

cos60°=k

QBq

( 3 L)2

cos30°
解得 Q_B=

3

Q
（3）以O为原点，OB为x轴正方向，OC为y轴正方向，槽上某点的坐标为（x，y），则该点的电势为
  φ=

kQ

y2+( L 2 -x)2

-

k 3 Q

y2+( 3 2 L-x)2

而x2+y2=

3

4

L2
代入上式解得，φ=0
说明圆周上各点电势相等，小球在运动过程中电势能不变，根据能量守恒得知，小球的动能不变，小球做匀速圆周运动．得证．
答：
（1）作出小球在水平面上受力如图，小球带负电，B带负电：
（2）B点电荷的电荷量大小为

3

Q；
（3）证明见上．

点评：本题的突破口是“小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度”，分析小球的受力情况，确定出向心力，判断小球与B的电性．