Question

示波器是一种常用的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间的变化情况．它的工作原理如图1所示，真空室中阴极K逸出电子（初速度可忽略不计），经过电压U_l=910V的加速电场后，由小孔S沿正对且相互靠近的水平金属极板A、B 和竖直金属板C、D 间的中心线依次通过两对平行金属板间．且已知A、B和C、D的长度均为l=0.20m，A、B和C、D两板间的距离均为d=0.020m，金属板的面积足够大．在A、B两板间加上如图2所示的正弦交变电u₂，当A板电势高于B板电势时，电压记为正值；在C、D两板间加上如图3所示的交变电压u₃，当C板电势高于D板电势时，电压记为正值．两对金属板间的电场可视为全部集中在两板之间，且分布均匀．在C、D 两极板右侧与极板右端相距s=0.30m处有一个与两对金属板中心线垂直的荧光屏，中心线正好经过屏的中点．若不计两对金属板之间的距离，且荧光屏足够大，并已知电子的质m=0.91×10^-30kg，所带电荷量e=1.6x10^-19C，不计电子之间的相互作用力．

（1）要使所有的电子都能打在荧光屏上，两对偏转金属板间所加电压的最大值U₂₀、U₃₀应满足什么条件？
（2）若U₂₀满足（1）中的条件，要使荧光屏上能显示出u₂ 的若干个完整周期内的波形，C、D 两板间所加交变电压u₃ 的周期应满足什么条件？
（3）若荧光屏上显示出一个u₂ 完整的波形，计算这个波形的峰值高度和最大长度，并在图4中画出这个波形．

Answer 1

分析：（1）电子经过电压为U₁的加速电场加速时，根据动能定理求解电子进入AB板时的初速度．电子进入水平金属板A．B间后做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出电子飞出电场时偏转距离y，当y＜

d

2

时所有的电子都能打在荧光屏上，求出最大值U₂₀、U₃₀需满足的条件．
（2）要使荧光屏上能显示u₂完整的波形，C、D两板间所加交变电压u₃的周期应为偏转电压u₂周期的整数倍．
（3）对于确定的U₂₀=18.2V，电子在两板间的最大侧移为 y_m=

d

2

=1cm；电子在通过C、D偏转板的过程中，沿水平方向的最大侧移为 x _m=

d

2

=1cm．根据三角形相似法求出波形的峰值高度和最大长度．波形为正弦曲线．

解答：解：
（1）对于电子在加速电场中的加速过程，设最终的速度为v₀，则由动能定理有：eU₁=

1

2

m

v

2 0

解得 v₀=

2eU1 m

=

2×1.6×10-19×910 9.1×10-31

=1.8×10⁷m/s
电子穿越金属板的时间 t=

l

v0

=

l

v0

=

0.2

1.8×107

s=1.1×10^-8s
由于电子在金属板间的运动时间远小于偏转电场u₂变化的周期，
所以电子通过两对金属板的过程中，电场可视为场强为定值的匀强电场
要使所有的电子都能打在荧光屏上，最大侧移必须必须满足：y＜

d

2

又电子在A、B板间运动的加速度为  a=

eU20

md

电子在电场方向做匀加速直线运动，则有 y=

1

2

at2
联立得：y=

eU20l2

2md v 2 0

＜

d

2

解得 U₂₀＜

2d2U1

l2

=

2×0.022×910

0.2

V=18.2V
同理可得：U₃₀＜18.2V；
（2）要使荧光屏上能显示u₂完整的波形，C、D两板间所加交变电压u₃的周期应为偏转电压u₂周期的整数倍，即 T=2n×10^-2 s（n，1，2，3…）；
（3）对于确定的U₂₀=18.2V，电子在两板间的最大侧移为 y_m=

d

2

=1cm
电子飞出A、B间的偏转电场时，其速度的反向延长线通过偏转电场的中心，设电子打在屏上距中心点沿竖直方向的最大距离（波形的峰值）为Y_m，则由几何关系可知：
 

Ym

ym

=

s+l+ 1 2 l

1 2 l

解得：Y_m=6cm
同理，电子在通过C、D偏转板的过程中，沿水平方向的最大侧移为 x_m=

d

2

=1cm
设电子打在屏上距中心点水平方向的最大距离为X_m，则由几何关系可知：
 

Xm

xm

=

s+ l 2

l 2

解得：X_m=4cm
波形为正弦曲线．波形如图所示．　　
答：
（1）要使所有的电子都能打在荧光屏上，两对偏转金属板间所加电压的最大值U₂₀、U₃₀应满足的条件分别为：U₂₀＜18.2V，U₃₀＜18.2V．
（2）要使荧光屏上能显示出u₂ 的若干个完整周期内的波形，C、D 两板间所加交变电压u₃ 的周期应满足的条件为：T=2n×10^-2s（n=1，2，3…）；
（3）这个波形的峰值高度和最大长度分别为4cm和6cm，波形如图所示．

点评：带电粒子在电场中的运动，在近几年高考考查中频率较高，多次出现带电粒子在交变电场中运动的题目，纵观这些题目，所涉及的情景基本相同，但命题往往拟定不同的题设条件，多角度提出问题，多层次考查能力．解决这类问题要从受力分析入手，分清各个物理过程，弄清带电粒子运动情境，应用力学规律，借助图象，定性分析、定量讨论，并注意思维方法和技巧的灵活运用．