Question

（2012?虹口区二模）如图（甲）所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个阻值为2Ω的定值电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd的电阻r=2Ω，导轨电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T．若棒以1m/s的初速度向右运动，同时对棒施加水平向右的拉力F作用，并保持拉力的功率恒为4W，从此时开始计时，经过一定时间t金属棒的速度稳定不变，电阻R中产生的电热为3.2J，图（乙）为安培力与时间的关系图象．试求：
（1）金属棒的最大速度；
（2）金属棒速度为2m/s时的加速度；
（3）此过程对应的时间t；
（4）估算0～3s内通过电阻R的电量．

Answer 1

分析：（1）当金属棒所受的拉力和安培力相等时，受到最大，根据P=Fv_m，F=BIL联立求出金属棒的最大速度．
（2）求出金属棒速度为2m/s时的感应电动势，从而求出感应电流的大小，根据F=BIL求出安培力的大小，再通过牛顿第二定律求出加速度的大小．
（3）克服安培力做的功全部转化为整个回路的热量，通过电阻R中产生的电热求出整个回路产生的电热，根据动能定理，通过拉力做功W=Pt求出此过程对应的时间．
（4）因为△q=I△t=

FA

BL

△t，根据图线所围成的面积求出F_A△t，从而得出0～3s内通过电阻R的电量．

解答：解：（1）金属棒的速度最大时，所受的合外力为零，即F=BIL．
而P=Fv_m，I=

BLvm

R+r

解出：vm=

P(R+r)

BL

=

4×(2+2)

2×0.5

m/s=4m/s．
（2）速度为2m/s时，感应电动势E=BLv=2×0.5×2V=2V，
电流I=

E

R+r

=

2

2+2

A=0.5A，
安培力F_安=BIL=2×0.5×0.5N=0.5N．
金属棒受到的拉力F=

P

v

=

4

2

N=2N
根据牛顿第二定律：F-F_安=ma
解得a=

F-F安

m

=

2-0.5

0.2

m/s2=7.5m/s2．
（3）在此过程中，由动能定理得：
Pt+W安=

1

2

mvm2-

1

2

mv02
而W_安=-（Q_R+Q_r）=-2Q_R=-6.4J．
解出t=

mvm2-mv02-2W安

2P

=

0.2×42-0.2×12+2×6.4

2×4

s=1.975s．
（4）图线与横轴之间共有124+15×

1

2

=131.5个小方格．
相应的面积为131.5×0.2×0.1N．s=2.63N．s，即F_安△t=2.63N．s
故q=I．△t=

F安△t

BL

=

2.63

2×0.5

C=2.63C．
答：（1）金属棒的最大速度为4m/s．
（2）金属棒速度为2m/s时的加速度为7.5m/s²．
（3）此过程对应的时间t为1.975s．
（4）0～3s内通过电阻R的电量2.63C．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理、功能关系等知识，综合性较强，对学生能力的要求较高，是一道好题．