Question

5．如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=0.2m，R是连接在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量为m=0.1kg的导体棒．从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好．图乙是棒的v-t图象，其中OA段是直线，AC是曲线，小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后保持功率不变．除R外，其余部分电阻均不计，g=10m/s²．
（1）求导体棒ab在0～12s内的加速度大小；
（2）求导体棒ab与导轨间的动摩擦因数及电阻R的值；
（3）请在答卷上作出牵引力的功率随时间（P-t）的变化图线．

Answer 1

分析 （1）图象中0-12s内物体做匀加速直线运动，由该段图象中的斜率可求得加速度；
（2）由导体切割磁感线时的感应电动势表达式可求得电动势大小，由欧姆定律可求得感应电流，则可求和安培力；由牛顿第二定律可得出加速度表达式；同理可求得17s时的加速度表达式，联立即可求得动摩擦因数及电阻R的阻值；
（3）在0-12s内，根据牛顿第二定律得到牵引力与时间的关系式，再由P=Fv得到功率与时间的关系式，即可作出P-t图象．

解答 解：（1）由图象知12s末导体棒ab的速度为v₁=9m/s，在0-12s内的加速度大小为：
  a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{9}{12}$m/s²=0.75m/s²
（2）t₁=12s时，v₁=9m/s，导体棒中感应电动势为：E=BLv₁
感应电流为：I=$\frac{E}{R}$
导体棒受到的安培力为：F₁=BIL，即：F₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
此时电动机牵引力为：F=$\frac{P}{{v}_{1}}$
由牛顿第二定律得：$\frac{P}{{v}_{1}}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$-μmg=ma
代入得：$\frac{4.5}{9}$-$\frac{0．{5}^{2}×0．{2}^{2}×9}{R}$-μ×0.1×10=0.1×0.75  ①
由图象知17s末导体棒ab的最大速度为v₂=10m/s，此时加速度为零，同理有：$\frac{P}{{v}_{2}}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$-μmg=0
代入得：$\frac{4.5}{10}$-$\frac{0．{5}^{2}×0．{2}^{2}×10}{R}$-μ×0.1×10=0 ②
由①②解得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）在0-12s内，根据牛顿第二定律得：F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$-μmg=ma
又 v=at
可得 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmg+ma
牵引力的功率为 P=Fv=Fat
联立代入得 P=（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}t$+μmg+ma）at，可知图象是过原点的抛物线
12s后功率恒定．
答：（1）导体棒ab在0～12s内的加速度大小是0.75m/s²；
（2）导体棒ab与导轨间的动摩擦因数是0.2，电阻R的值是0.4Ω；
（3）作出牵引力的功率随时间（P-t）的变化图线如图所示．

点评 本题考查电磁感应中的能量关系，在解题中要注意分析过程，通过受力分析找出力和运动的关系；再分析各力的做功情况，可利用能量守恒或功能关系求解．