Question

6．如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C． B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质最不计）．设A以速度v₀朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
（i）整个系统损失的机械能；
（ii）弹簧被压缩到最短时的弹性势能．

Answer 1

分析 （i）A压缩弹簧的过程，系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出A、B相等的速度．此时B与C发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律求出碰后共同速度．再由能量守恒定律可以求出损失的机械能．
（ii）系统动量守恒，由动量守恒定律求出三个物体共同速度，然后应用能量守恒定律可以求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（i）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v₁时，对A、B与弹簧组成的系统，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得
   mv₀=2mv₁                     ①
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v₂，损失的机械能为△E．对B、C组成的系统，取水平向右为正方向，由动量守恒和能量守恒定律得
      mv₁=2mv₂             ②
   $\frac{1}{2}$mv₁²=△E+$\frac{1}{2}$•2mv₂²              ③
联立①②③式得：
整个系统损失的机械能为△E=$\frac{1}{16}$mv₀²                       ④
（ii）由②式可知v₂＜v₁，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此时速度为v₃，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E_p．由动量守恒和能量守恒定律得
   mv₀=3mv₃，⑤
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$mv₀²-△E=$\frac{1}{2}$•3mv₃²+E_P ⑥
联立④⑤⑥式得 
解得：E_P=$\frac{13}{48}$mv₀²；
答：
（i）整个系统损失的机械能是$\frac{1}{16}$mv₀²；
（ii）弹簧被压缩到最短时的弹性势能是$\frac{13}{48}$mv₀²．

点评 本题综合考查了动量守恒定律和能量守恒定律，关键合理地选择研究的系统，知道弹簧被压缩到最短时三个物体速度相同，运用动量守恒和能量守恒进行研究．