Question

6．如图，在竖直平面内x轴下方有磁感应强度为B、方向垂直于直面向里的匀强磁场和电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场．一个带电小球从y轴上P（0，h）点以初速度v₀竖直向下抛出．小球穿过x轴后恰好做匀速圆周运动．不计空气阻力，已知重力加速度为g．求：
（1）判断小球带正电还是负电；
（2）计算小球做圆周运动的半径；
（3）若从小球经过坐标原点O开始计时，小球在某时刻将第一次穿过x轴上一点A（图中未画出），计算A点的坐标和小球经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据受力平衡，结合负电荷电场力与电场强度方向相反，即可求解；
（2）由速度位移公式可以求出小球的速度，再由牛顿第二定律求出小球的轨道半径；
（3）根据圆周运动的周期公式，求出小球做圆周运动的时间，然后根据半径大小，从而确定坐标位置．

解答 解：（1）设小球的质量为m，因带电小球在复合场中作匀速圆周运动，故电场力一定与重力平衡，即：mg=qE，电场力方向竖直向上，
则：小球必带负电．
（2）小球运动的轨迹如图所示：

设小球到O点时的速度为v，小球由P到O的过程，由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$m（v²-v₀²）得：v=$\sqrt{2gh+{v}_{0}^{2}}$，
设在复合场中小球的运动半径为R，则：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又：mg=qE，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{E}{Bg}$$\sqrt{2gh+{v}_{0}^{2}}$
（3）经过坐标原点O开始计时，小球第一次经过x轴，所用时间为t，
小球做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
做圆周运动的时间：t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$，
A点的坐标（-2R，0），即（-$\frac{2E}{Bg}\sqrt{2gh+{v}_{0}^{\;}}$，0）．
答：（1）小球是带负电；
（2）小球作圆周运动的半径$\frac{E}{Bg}$$\sqrt{2gh+{v}_{0}^{2}}$；
（3）则A点的坐标（-$\frac{2E}{Bg}\sqrt{2gh+{v}_{0}^{\;}}$，0）和小球经历的时间$\frac{πm}{qB}$．

点评 考查机械能守恒定律的条件与应用，掌握由洛伦兹力提供向心力来做匀速圆周运动的处理规律，理解通过运动学公式与圆弧运动的周期公式求时间的方法．