Question

7．在水平面内的直角坐标系xOy中，两条光滑金属导轨OQ、MNP按如图所示固定放置，MNP曲线满足方程y=$\frac{L}{2}$coskx+$\frac{L}{2}$（k为常数），直导轨OQ长度为$\frac{2π}{k}$，两导轨在N点接触，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中t=0时刻有一长为L的金属棒在外力作用下从图示位置开始沿x轴正方向以速度v做匀速直线运动，除N点存在阻值为R的接触电阻外，其余电阻均不计．则金属棒从MO运动至PQ的过程中（　　）

• A． 通过金属棒的感应电流平均值为零
• B． 通过金属棒的感应电流有效值为$\frac{BLv}{R}$
• C． 感应电动势的瞬时值e=$\sqrt{2}BLvcoskvt$
• D． 外力对金属棒做的功为$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}v}{Rk}$

Answer 1

分析 根据感应电动势公式E=Blv，导体有效的切割长度y=$\frac{L}{2}$coskx+$\frac{L}{2}$，计算电动势大小，回路的电阻R，由$I=\frac{E}{R}$，计算电流大小，由能量守恒求得外力做的功．

解答 解：设从图示位置开始导体棒运动时间为t时，速度大小为v，磁感应强度为B．
A、B、C根据感应电动势公式E=Blv=Bvy=Bvy=B（$\frac{L}{2}$coskx+$\frac{L}{2}$）v=$\frac{1}{2}BLv+\frac{1}{2}BLvcoskvt$，回路电阻R，由闭合电路欧姆定律得I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{2R}+\frac{BLv}{2R}coskvt$，故I平均值不为零，有效值根据电流的热效应，电流的变化还是余弦式变化，最大值为$\frac{BLv}{R}$，根据有效值和最大值之关系得：I=$\frac{{I}_{max}}{\sqrt{2}}=\frac{BLv}{\sqrt{2}R}$．故A错误，B错误，C错误．
D、根据能量守恒定律得，棒的速度不变，动能不变，外力做功等于回路中产生的热量，故：W_外=Q=${I}^{2}Rt=（\frac{BLv}{\sqrt{2}R}）^{2}R\frac{\frac{2π}{k}}{v}=\frac{{πB}^{2}{L}^{2}v}{Rk}$，故D正确．
故选：D

点评 本题考查综合分析问题的能力．对于电流变化情况的分析，符合交流电的特征，再由交流电知识求解问题答案．