Question

5．如图，相邻两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，设磁感应强度的大小分别为B₁、B₂．已知：磁感应强度方向相反且垂直纸面；两个区域的宽度都为d；质量为m、电量为+q的粒子由静止开始经电压恒为U的电场加速后，垂直于区域Ⅰ的边界线MN，从A点进入并穿越区域Ⅰ后进入区域Ⅱ，最后恰好不能从边界线PQ穿出区域Ⅱ．不计粒子重力．求
（1）B₁的取值范围；
（2）B₁与B₂的关系式．

Answer 1

分析 （1）粒子在加速电场中由动能定理求出进入磁场的速度，由于粒子恰好不从上边界穿出，所以粒子在B1中的运动半径必大于d1，从而求出B1的取值范围．
（2）画出粒子在两个相反磁场的运动轨迹，由几何关系求出半径关系，从而求出磁感应强度的关系．

解答 解：（1）设粒子经U加速后获得的速度为v，根据动能定理有：$q{U_{\;}}=\frac{1}{2}mv_{\;}^2$   ①
在区域Ⅰ的磁场中偏转，有：$q{B_1}v=\frac{{m{v^2}}}{R_1}$      ②
要使粒子能进入区域Ⅱ，必须：R₁＞d       ③
联立得：$0＜{B_1}＜\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$    ④
（2）两区域磁场方向相反（如Ⅰ垂直纸向处，Ⅱ垂直纸面向里），则粒子的运动轨迹如图
线ACD．带电粒子在区域Ⅱ的磁场中偏转，由洛仑兹力提供向心力，
由：$q{B_2}v=\frac{{m{v^2}}}{R_2}$    ⑤
如图△O₁HC∽△O₂JC，则有：$\frac{R_1}{d}=\frac{R_2}{{d-{R_2}}}$    ⑥
联立①②⑤⑥得：${B_2}-{B_1}=\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$   ⑦
答：（1）B₁的取值范围是$0＜{B_1}＜\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$．
（2）B₁与B₂的关系式为${B_2}-{B_1}=\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$．

点评 本题涉及的几何关系比较少见，在B1中旋转一个优弧，在B2中旋转一个劣弧，且与B2的上边界相切，想方设法构筑与宽度有关几何图形，利用三角函数和相似三角形是本题的关键，但最后要把中间参数消去．