Question

4．如图，某星球自转周期为T，飞行器P对此星球执行观测任务，经调整高度，飞行器只受万有引力绕该星球做匀速圆周运动，且相对星球表面静止，测得星球相对飞行器的张角为θ=60°，飞行器正对星球表面发射电磁波经过t时间收到返回信号，已知电磁波在真空中传播速度为C，忽略星球表面大气对电磁波速的影响，求：
（1）该星球的半径R；
（2）该星球的质量M；
（3）该星球的密度ρ

Answer 1

分析 根据光速与时间求解高度，结合几何知识求解该星球的半径R，
由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律求解星球的质量M；
根据密度的定义求解密度．

解答 解：（1）测得星球相对飞行器的张角为θ=60°，飞行器正对星球表面发射电磁波经过t时间收到返回信号，
所以h=$\frac{ct}{2}$
根据几何知识得由几何关系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$
h+R=2R
所以R=$\frac{ct}{2}$
（2）对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
M=$\frac{{{4π}^{2}（Ct）}^{3}}{{GT}^{2}}$
（3）根据密度的定义得
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{24π}{{GT}^{2}}$
答：（1）该星球的半径是$\frac{ct}{2}$；
（2）该星球的质量是$\frac{{{4π}^{2}（Ct）}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（3）该星球的密度是$\frac{24π}{{GT}^{2}}$．

点评 本题关键掌握万有引力定律和万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题．