Question

（2011?深圳二模）细管AB内壁光滑、厚度不计，加工成如图所示形状，长L=0.8m的BD段固定在竖直平面内，其B端与半径R=0.4m的光滑圆弧轨道

BP

平滑连接，CD段是半径R=0.4m的

1

4

圆弧，AC段在水平面上，与长S=1.25m、动摩擦因数μ=0.25的水平轨道AQ平滑相连，管中有两个可视为质点的小球a、b，m_a=3m_b．开始b球静止，a球以速度v₀向右运动，与b球发生弹性碰撞之后，b球能够越过轨道最高点P，a球能滑出AQ．（重力加速度g取10m/s²，

6

≈2.45）．求：
①若v₀=4m/s，碰后b球的速度大小；
②若v₀未知，碰后a球的最大速度；
③若v₀未知，v₀的取值范围．

Answer 1

分析：①、a、b过程中动量和机械能都守恒，分别用动量守恒和机械能守恒列式求解即可．
②、要想让a球能滑出AQ，则a球与b球碰撞后，a球不能超过B点，否则a球会进入半圆形轨道，就不会经过AQ．a球碰撞后直至B的过程中，机械能守恒．应用机械能守恒定律可求出碰后a球的最大速度．
③、要使b球能顺利经过最高点，则在最高点时有v≥

gR

，由此可应用机械能守恒求出b球碰撞后的最小速度．从而求出a球碰撞前的最小速度（注意：还要兼顾a球滑出AQ）．要使a球滑出AQ，则a球至少要达到一定的速度才行，由运动学公式可求出此条件．碰后a上升的高度不能超过（L+R），否则a球就不会返回经过AQ，结合第二问可求出a球的最大速度．

解答：解：
①、a、b碰撞过程中，以a、b组成的系统为研究对象，经受力分析，系统动量守恒．选向右的方向为正，设a、b碰后瞬间速度为v_a1、v_b1，由动量守恒得：
m_av₀=m_av_a1+m_bv_b1…①
因a、b的碰撞是弹性碰撞，所以碰撞过程中机械能守恒，有：

1

2

ma 

v

2 0

=

1

2

ma 

v

2 a1

+

1

2

mb

v

2 b1

…②
①②两式联立解得：va1=

ma-mb

ma+mb

v0=2m/s
                  vb1=

2ma

ma+mb

v0=6m/s
②、因a球能滑出AQ，故a与b碰后，a上升的高度不能超过B点，即上升的高度不会超过L+R．设碰撞后a的最大速度为

v

2 a1max

a球上升的过程中机械能守恒，有：

1

2

ma 

v

2 a1max

=m_ag（L+R）
得：

v

a1max

=

6gR

≈4.9m/s
③、欲使b能通过最高点，设b球与a碰撞后的速度为

v

b1

，经过最高点时的速度为v_b2，则有：
mbg≤mb 

v 2 b2

R

得：vb2≥

gR

=2m/s
b球在上升至最高点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，有：

1

2

mb

v

2 b1

=

1

2

mb

v

2 b2

+mbg(2R+L)
解得：v_b1≥6m/s
v0min≥

ma+mb

2ma

vb1=4m/s
因为a球能通过粗糙区域，设a碰撞前的速度为

v

′ 0

，碰撞后，的速度为v_a1，则有：

v

2 a1

＞2μgs
解得：v_a1＞2.5m/s

v

′ 0

=2va1＞5m/s
碰后a上升的高度不能超过（L+R），必须满足

v

0max

=2va1≤2

6gR

≈9.8m/s
综上可得
5m/s＜v₀≤9.8m/s   
答：①若v₀=4m/s，碰后b球的速度为6m/s．
②若v₀未知，碰后a球的最大速度4.9m/s
③若v₀未知，v₀的取值范围为5m/s＜v₀≤9.8m/s

点评：此题的第一第二问较为简单，只要判断出动量和机械能守恒，应用这两个守恒定律可求出结果．第三问较为复杂，一定要分析清楚a、b的运动过程和临界状态．这里有三个临界状态，一是b球恰能通过最高点；二是a球不能超过B点；三是a球还要滑出AQ．所以对这三个临界状态的分析成了解决此题的关键．
所谓临界问题是指一种物理过程或物理状态转变为另一种物理过程或物理状态的时候，存在着分界的现象，即所谓的临界状态，符合这个临界状态的条件即为临界条件．满足临界条件的物理量称为临界值，在解答临界问题时，就是要找出临界状态，分析临界条件，求出临界值． 
解决临界问题，一般有两种基本方法：（1）以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析、讨论其特殊规律和特殊解．（2）直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，求解出所研究问题的规律和解．