Question

6．如图所示，水平面右端放一大小可忽略的小物块，质量m=0.1kg，以v₀=4m/s向左运动，运动至距出发点d=1m处将弹簧压缩至最短，反弹回到出发点时速度大小v₁=2m/s．水平面与水平传送带理想连接，传送带长度L=3m，以v₂=10m/s顺时针匀速转动．传送带右端与一竖直面内光滑圆轨道理想连接，圆轨道半径R=0.8m，物块进入轨道时触发闭合装置将圆轨道封闭．（g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6））求：
（1）物体与水平面间的动摩擦因数μ₁；
（2）弹簧具有的最大弹性势能E_p；
（3）要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物体间的动摩擦因数μ₂应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）小物块在水平面向左运动再返回的过程，动能转化为内能，根据能量守恒定律求物体与水平面间的动摩擦因数μ₁；
（2）研究小物块从出发到运动到弹簧压缩至最短的过程，由能量守恒定律求弹簧具有的最大弹性势能E_p；
（3）物块滑上传送带后，在滑动摩擦力的作用下加速，动摩擦因数μ₂不同，加速距离不同，冲上圆弧轨道的初速度就不同，求出恰好到达圆心右侧等高点、圆心右侧等高点和圆轨道最高点时速度，再由牛顿第二定律和运动学公式或动能定理求动摩擦因数μ₂的范围．

解答 解：（1）小物块在水平面向左运动再返回的过程，根据能量守恒定律得
    μ₁mg•2d=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据解得 μ₁=0.3
（2）小物块从出发到运动到弹簧压缩至最短的过程，由能量守恒定律得
  弹簧具有的最大弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μ₁mgd
代入数据解得 E_p=0.5J
（3）本题分两种情况讨论：
①设物块在圆轨道最低点时速度为v₃时，恰好到达圆心右侧等高点．
根据机械能守恒得 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$，得 v₃=4m/s＜v₂=10m/s
说明物块在传送带上一直做匀加速运动．
由动能定理得：μ₂mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 μ₂=0.2
②设物块在圆轨道最低点时速度为v₄时，恰好到达圆轨道最高点．
在圆轨道最高点有：mg=m$\frac{{v}_{5}^{2}}{R}$
从圆轨道最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得
    2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{5}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
解得 v₄=2$\sqrt{10}$m/s＜v₂=10m/s
说明物块在传送带上一直做匀加速运动．
由动能定理得：μ₂mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 μ₂=0.6
所以要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物体间的动摩擦因数μ₂应满足的条件是μ₂≤0.2或μ₂≥0.6．
答：
（1）物体与水平面间的动摩擦因数μ₁是0.3．
（2）弹簧具有的最大弹性势能E_p是0.5J．
（3）要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物体间的动摩擦因数μ₂应满足的条件是μ₂≤0.2或μ₂≥0.6．

点评 做物理问题时应该先清楚研究对象的运动过程，根据运动性质利用物理规律解决问题；本题还抓住圆周运动的临界条件．关于能量守恒定律的应用，要清楚物体运动过程中能量的转化；动能定理可以分过程也可以全过程使用，应适当选择．