Question

【题目】如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O2A、O1B与竖直方向的夹角均为＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以v0的初速度从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝1/3，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）要使小球能通过圆弧形轨道APD的最高点，初速度v0至少多大？

（2）若以题（1）中求得的最小初速度v0从B点向上运动，小球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点，求小球第一次到达Q点时对轨道的压力；

（3）若以题（1）中求得的最小初速度v0从B点向上运动，小球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点，计算说明小球能经过C点的次数。

Answer 1

【答案】（1）2m/s（2）40N（3）4次

【解析】试题分析：小球穿在滑轨上，通过轨道APD的最高点时速度可以为零，根据动能定理求初速度v0；球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点时速度为零，根据动能定理求出小球第一次到达Q点时的速度，小球在Q点，由合力提供向心力，由牛顿运动定律求小球第一次到达Q点时对轨道的压力；小球在直轨道上运动时，由于克服摩擦而做功，其机械能要减少，根据功能关系分析小球经过C点的动能，确定小球能经过C点的次数。

（1）因为小球是穿在杆上，所以到达最高点时速度可以为0，由B到圆弧形轨道APD的最高点，根据动能定理得：

解得：

（2）

解得：

小球第一次到达Q点时，轨道对小球的支持力为，得N=40N

所以，小球第一次到达Q点时对轨道的压力为40N

（3）当小球在B点以v0=2m/s向上运动，再次回到B点时，损失的机械能为：

再次回到B点时的动能为：

由于，分析知，小球沿AB上升到某点后将下滑，第三次经过B点时动能小于12J，第二次经过C点时动能22J，小于30J，第三次经过C点时动能大于2J，小于10J，此后小球将无法再次回到B点，下滑后第四次经过C点，在未到D点时停止，所以小球能经过C点的次数为4次。