Question

如图所示，斜面与水平面在B点衔接，水平面与竖直面内的半圆形导轨在C点衔接，半圆形导轨的半径为r=0.4m．质量m=0.50kg的小物块，从A点沿斜面由静止开始下滑，测得它经过C点进入半圆形导轨瞬间对导轨的压力为35N，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达D点．已知A到B的水平距离为l₁=3.2m，B到C的水平距离为l₂=1.6m，物块与斜面及水平面之间的动摩擦因数均为μ=0.25，不计物块通过衔接点时的能量损失，g取10m/s²．
求：
（1）物块从C至D克服阻力做了多少功？
（2）A点离水平面的高度h为多大？
（3）为使物块恰好不能越过C而进入半圆形导轨内，物块在斜面上下滑的起始高度应调节为多大？

Answer 1

分析：（1）小球经过C点时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过C点的速度．小球恰好到达D点时，由重力提供向心力，求出小球经过D点的速度，再根据动能定理求解物块从C至D克服阻力做功．
（2）从A到B过程，由动能定理求出h．
（3）物块恰好不能越过C点时速度为零，再由动能定理求解物块在斜面上下滑的起始高度．

解答：解：（1）圆周运动在C点有，N-mg=m

v 2 C

r

  ①
圆周运动在D点有，mg=m

v 2 D

r

  ②
从C至D由动能定理有，-mg?2r-W_f=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

  ③
联立①②③式并代入数据可解得，从C至D物块克服阻力做的功W_f=1J   ④
（2）从A到B过程，物块克服阻力做的功W1=μmgcosθ?

l1

cosθ

=μmgl1  ⑤
从A到C，由动能定理有，mgh-W1-μmgl2=

1

2

m

v

2 C

-0⑥
联立①⑤⑥式并代入数据可解得，h=2.4m⑦
（3）从起始到C点由动能定理有，mgh′-μmgcosθ?

h′

sinθ

-μmgl2=0⑧
又   

sinθ

cosθ

=

h′

l1

=

3

4

⑨
联立⑧⑨式并代入数据可解得，h'=0.6m
答：
（1）物块从C至D克服阻力做了1J功．
（2）A点离水平面的高度h为2.4m．
（3）为使物块恰好不能越过C而进入半圆形导轨内，物块在斜面上下滑的起始高度应调节为0.6m．

点评：物块做圆周运动时，根据向心力知识求解速度，根据动能定理求解阻力做功，都是常用的方法和思路．