Question

“和平号”空间站已于2001年3月23日成功地坠落在南太平洋海域，坠落过程可简化为从一个近圆轨道(可近似看作圆轨道)开始，经过与大气摩擦，空间站的绝大部分经过升温、熔化，最后汽化而销毁，剩下的残片坠入大海.此过程中，空间站原来的机械能中，除一部分用于销毁和一部分被残片带走外，还有一部分能量E′通过其他方式散失(不考虑坠落过程中化学反应的能量).

(1)试导出用下列各物理量的符号表示散失能量E′的公式；

(2)算出E′的值(结果保留两位有效数字).

坠落开始时空间站的质量M＝1.17×10⁵ kg；

轨道离地面的高度h=146 km；

地球半径R＝6.4×10⁶ m；

坠落空间范围内重力加速度取g＝10 m/s²；

入海残片的质量m＝1.2×10⁴ kg；

入海残片的温度升高ΔT＝3 000 K；

入海残片的入海速度为声速v＝340 m/s；

空间站材料每1 kg升温1 K平均所需能量c＝1.0×10³ J；

每销毁1 kg材料平均所需能量μ＝1.0×10⁷ J.

Answer 1

(1)Mg(R+h)-(M-m)μ-mv²-cmΔT  (2)2.9×10¹²J

解析:

根据题目所给条件，从近圆轨道到地面的空间中重力加速度取g=10 m／s².若以地面为重力势能零点，坠落过程开始时空间站在近圆轨道的势能为E_p=Mgh①

以v表示空间站在近圆轨道上的速度，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Mg=M②

由②式可得空间站在近圆轨道上的动能为

E_k=Mg(R+h)③

由①③式得，在近圆轨道上空间站的机械能

E=Mg(h)④

在坠落过程中，用于一部分销毁所需的能量为

Q_汽=(M-m)μ⑤

用于残片升温所需的能量Q_残=cmΔT⑥

残片入海时的动能为E_残=mv²⑦

以E′表示其他方式散失的能量，则由能量守恒定律得E=Q_汽+E_残+Q_残+E′⑧

将④⑤⑥⑦式代入⑧式整理得

E′=Mg(R+h)-(M-m)μ-mv²-cmΔT.⑨

(2)将题目所给数据代入⑨式解得E′=2.9×10¹²J.