Question

20．水面上方20米处的岩石上，用绳系住一小船，离岸20$\sqrt{3}$米，如图所示，岸上的人用3米/秒的速率收绳，求：①刚开始时船的速度．②5秒末船的速度．③5秒内船的平均速度．

Answer 1

分析 （1）由几何关系可求得开始时绳子的长度以及绳子与水平方向之间的夹角，将船的速度沿绳子的方向以及垂直于绳子的方向分解即可求出；
（2）由几何关系可求得5s后绳子在河面上的长度，则由速度的合成与分解可求得小船的速率；
（3）由几何关系可求得船离河岸的距离，即可求得小船前进的距离，再由平均速度的定义式求出平均速度．

解答 解：（1）开始时绳子的长度：${l}_{1}=\sqrt{{h}^{2}+{x}^{2}}=\sqrt{2{0}^{2}+（20\sqrt{3}）^{2}}=40$m
所以绳子与水平方向之间的夹角的正弦值：sinθ=$\frac{h}{{l}_{1}}=\frac{20}{40}=0.5$
可知：θ=30°
设岸上的人的速度为v₀，船开始时的速度为v₁，由船的速度为合速度，由绳收缩的速度及绳摆动的速度合成得出，则：
v₀=v₁cosθ
所以：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{3}{cos30°}=2\sqrt{3}$m/s
（2）由题意可知，5秒末，则人行驶：L=v₀t=3×5=15米，
所以导致绳子长从40米变成25米，此时根据三角函数关系可知，sin$β=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$
则由几何关系可知，cosβ=$\frac{3}{5}$，
则船速v₂=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5m/s；
（3）人前进15m的后，小船到岸的距离：$x′=\frac{h}{tanβ}=\frac{20}{\frac{4}{3}}=15$m
所以船前进的距离：$△x=x-x′=20\sqrt{3}-15≈19.64$m
船的平均速度：$\overline{v}=\frac{△x}{t}=\frac{19.64}{5}=3.93$m/s
答：①刚开始时船的速度是$2\sqrt{3}$m/s．
②5秒末船的速度是5m/s．
③5秒内船的平均速度是3.93m/s．

点评 运动的合成与分解一定要注意灵活把握好几何关系，明确题目中对应的位移关系及速度关系；画出运动的合成与分解图象非常关键．