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如图所示，P、Q为水平面内平行放置的金属长直导轨，间距为L₁，处在磁感应强度大小为B₁、方向竖直向下的匀强磁场中．一根质量为M、电阻为r的导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，导体杆ef与P、Q导轨之间的动摩擦因素为μ．在外力作用下导体杆ef向左做匀速直线运动．质量为m、每边电阻均为r、边长为L₂的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，金属框处在磁感应强度大小为B₂、方向垂直框面向里的匀强磁场中，金属框恰好处于静止状态．不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力．求：
（1）通过ab边的电流I_ab；
（2）导体杆ef做匀速直线运动的速度v；
（3）外力做功的功率P_外；
（4）t时间内，导体杆ef向左移动时克服摩擦力所做的功．

解：（1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为I_ab，dc边的电流为I_dc，有：
I_ab= $\text{[math]}$ I
I_cd= $\text{[math]}$ I
金属框受重力和安培力，处于静止状态，有：mg=B₂I_abL₂+B₂I_dcL₂
联立三式解得：I_ab= $\text{[math]}$
故通过ab边的电流I_ab是：I_ab= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可得：I= $\text{[math]}$
设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有：E=B₁L₁v
设ad、dc、cb三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则：R= $\text{[math]}$ r
R与ef串联的总电阻R_总= $\text{[math]}$ r+r= $\text{[math]}$ r
ef由于运动切割磁感线而产生的电动势E=B₁L₁v
根据闭合电路欧姆定律，有：I= $\text{[math]}$
联立以上各式： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：v= $\text{[math]}$ ．
故导体杆ef的运动速度v是： $\text{[math]}$ ．
（3）ef棒在水平方向上受到外力F、安培力、摩擦力，根据平衡条件可知
F=F_A+μMg
因为F_A=B₁IL₁= $\text{[math]}$
所以外力F的功率为：
P_外=Fv=（F_A+μMg）v= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
（4）摩擦力为恒力，可以用功的定义式求解：
W_f=μMgs=μMgvt= $\text{[math]}$
答：（1）通过ab边的电流I_ab为 $\text{[math]}$ ；
（2）导体杆ef做匀速直线运动的速度v为 $\text{[math]}$ ；
（3）外力做功的功率为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；
（4）t时间内，导体杆ef向左移动时克服摩擦力所做的功为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）外电路是：ad、dc、cb三边电阻串联后再与ab边电阻并联构成，竖直方向上ab边与cd边所受安培力均向上，根据受力平衡列方程即可求解，注意并联电路中电流与电阻关系．
（2）根据闭合电路欧姆定律求出电源的电动势，根据E=BLv，即可求出导体棒的速度．
（3）根据平衡条件，外力F等于安培力和摩擦力之和，求出F，用P=Fv求解．
（4）摩擦力是恒力，可以直接用功的定义式求解．
点评：本题易错点为不能正确分析外电路的串并联情况，从而不能正确分析安培力大小最后导致错误．对于电磁感应与电路的结合问题一定分析整个电路的组成情况，然后根据闭合电路的欧姆定律求解．

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（1）P第一次落到MN边界的时间t和第一次在相互作用区域中运动的时间T；
（2）P第2次经过MN边界时板Q的速度v；
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（1）P第1次落到MN边界的时间t和第一次在相互作用区域中运动的时间T；
（2）P第2次经过MN边界时板Q的速度v；
（3）从P第1次经过MN边界到第2次经过MN边界的过程中，P、Q组成系统损失的机械能△E；
（4）当板Q速度为零时，P一共回到出发点几次？

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