Question

（10分）如图所示，PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直，且接触良好。金属棒ab、cd的质量均为m，长度均为L。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭合回路。金属棒ab的电阻为2R，金属棒cd的电阻为R。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。

（1）若保持金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直的水平恒力F作用下，沿轨道以速度v做匀速运动。试推导论证：在Δt时间内，F对金属棒cd所做的功W等于电路获得的电能E电；

（2）若先保持金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直的水平力F′（大小未知）作用下，由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动，水平力F′作用t0时间撤去此力，同时释放金属棒ab。求两金属棒在撤去F′后的运动过程中，

①金属棒ab中产生的热量；

②它们之间的距离改变量的最大值?x。

Answer 1

（1）见解析 （2）① ②

【解析】

试题分析：（1）金属棒cd做匀速直线运动，受平衡力 F=F安=BIL

在?t时间内，外力F对金属棒cd做功 W=Fv?t = F安v?t=BILv?t=（1分）

金属棒cd的感应电动势E=BLv

电路获得的电能 E电=Eq=EI?t=BILv?t =

即F对金属棒cd所做的功等于电路获得的电能E电（1分）

（2）①撤去F′时，cd棒的速度大小为v1=at0（1分）

当ab、cd的速度相等时，回路中的电流为零，两棒开始做匀速直线运动。

因为ab、cd棒受到的安培力等大反向，所以系统的动量守恒。

设它们达到相同的速度为v2，则：mv1=2mv2（1分）

根据能量守恒定律，回路中产生的焦耳热总量为：Q=（2分）

金属棒ab产生的焦耳热： （1分）

②解法1：

设从撤去F′到ab、cd棒的刚好达到相同速度的过程中的某时刻，ab、cd的速度差为?v，则此时回路中产生的感应电动势Ei==BL?v

此时回路中的感应电流（1分）

此时ab棒所受安培力Fi=BIiL=

对ab棒根据动量定理有：Fi?t=m?v2

对从撤去F′到ab、cd棒刚好达到相同速度的过程求和

则有：=mv2，即（1分）

又因v2=v1/2=at0/2

所以解得最大距离改变量（1分）

解法2：

对ab棒由动量定理得=mv'（1分）

解得q==

设两金属棒间的距离改变了?x，由法拉第电磁感应定律

平均感应电动势

回路的平均电流为（1分）

通过金属棒的电荷量q===

解得：（1分）

考点：本题考查电磁感应