Question

8．如图所示，一个带有$\frac{1}{4}$圆弧的上表面粗糙滑板A，总质量为3kg，其圆弧与水平部分相切与P点，水平部分的总长为L=3.75m，开始时A静止于光滑的水平面上，有一质量为2kg的小滑块B从滑板的最右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，B与A之间的动摩擦因数为μ=0.15．求：

（1）小木块B滑到P点后再沿着圆弧部分向上滑行一段距离后返回（未滑出水平部分），最终停在滑板的水平部分上．求A、B相对静止时的速度的大小．
（2）若B最终停在了A的水平部分的R点，L_PR=1m，求B在圆弧上运动过程中，因摩擦而产生的热量．
（3）若圆弧部分光滑，且除v₀不确定外，其他条件不变，讨论小木块B在整个运动过程中，是否有可能相对于地面向右运动？如不可能，说明理由．如有可能，求出B既能向右运动，又不滑出滑板A的取值范围？

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律求出A、B相对静止时的速度大小．
（2）根据能量守恒定律求出在圆弧上运动过程中，因摩擦产生的热量．
（3）根据系统的动量守恒和能量结合分析B既能向右滑动、又不滑离木板A的v₀取值范围．

解答 解：（1）最终小木块与小车相对静止时，具有相同的速度，该系统动量守恒，规定小物块初速度的方向为正方向，
有：mv₀=（M+m）v，
解得：v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}=\frac{2×5}{2+3}m/s=2m/s$，方向向左．
（2）设B在A的圆弧部分产生的热量为Q₁，在A的水平部分产生的热量为Q₂．则有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}+{Q}_{1}+{Q}_{2}$，
又Q₂=μm_Bg（L_QP+L_PR）　
代入数据联立解得：Q₁=0.75 J．　
（3）设小木块B下滑到P点时速度为v_B，同时A的速度为v_A，由动量守恒和能量关系可以得到
mv₀=mv_B+Mv_A
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{A}}^{2}+$μmgL
由两式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0，得：${v}_{B}=\frac{4{v}_{0}-\sqrt{36{{v}_{0}}^{2}-18gL}}{10}＜0$
化简后为v₀²＞0.9gL
若要求B最终不滑离A，由能量关系必有：$μmg•2L≥\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
化简得：v₀²≤gL
故B既能对地向右滑动，又不滑离A的条件为：0.9gL＜v₀²≤gL
解得：5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．
答：（1）A、B相对静止时的速度的大小为2m/s，方向向左．
（2）因摩擦而产生的热量为0.75J．
（3）B既能向右运动，又不滑出滑板A的取值范围为5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．

点评 本题考查了动量守恒定律和能量守恒定律的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高，对于第二问，根据能量守恒可以求出系统因摩擦产生的总热量，在水平面上产生的热量可以通过摩擦力乘以相对路程求出．