Question

7．太阳系中某行星运行的轨道半径为R₀，周期为T₀．但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t₀时间发生一次最大的偏离（行星仍然近似做匀速圆周运动）．天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星．假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是（认为未知行星近似做匀速圆周运动）（　　）

• A． T=$\frac{{{t}_{0}}^{2}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$
• B． T=$\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$T₀
• C． R=R₀$\root{3}{（\frac{{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$
• D． R=R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}-{T}_{0}}{{t}_{0}}）^{2}}$

Answer 1

分析 当两行星相距最近时，未知行星对该行星的影响最大，且每隔t₀时间相距最近，可知在t₀时间内该卫星比未知卫星多运行1圈，结合该关系求出B的周期．由开普勒第三定律求出未知行星的轨道半径．

解答 解：AB、行星发生最大偏离时，两行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧．设未知行星运行周期为T，轨道半径为R，则有：$\frac{2π}{{T}_{0}}{t}_{0}-\frac{2π}{T}{t}_{0}=2π$，解得未知行星的运行周期T=$\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}{T}_{0}$，故B正确，A错误．
CD、由开普勒第三定律有：$\frac{{{R}_{0}}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}}=\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$，解得：R=${R}_{0}\root{3}{\frac{{{t}_{0}}^{2}}{（{t}_{0}-{T}_{0}）^{2}}}$，故C、D错误．
故选：B．

点评 本题考查了万有引力定律的运用，掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用，知道A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t₀时间相距最近．