Question

4．氢原子可视为电子绕着原子核（氢原子视为质子，电荷量等于一个元电荷e）做匀速圆周运动，若电子可以在距离原子核r和4r的圆轨道上做匀速圆周运动，设电子质量为m，质子质量为M，静电力常量为k，不计质子与电子之间的万有引力，求：
（1）电子在距离原子核r的圆轨道上做匀速圆周运动的速度大小；
（2）电子在距离原子核r和4r的圆轨道上做匀速圆周运动的周期之比；
（3）电子在距离原子核r和4r的圆轨道上做匀速圆周运动的动能之比．

Answer 1

分析 根据洛伦兹力提供向心力得出线速度、周期与轨道半径的表达式，从而得出速度大小之比和周期之比，结合速度之比求出动能之比．

解答 解：（1）根据$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{mr}}$，．
（2）根据$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$，
因为轨道半径之比为1：4，则周期之比为1：8．
（3）根据$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，动能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{k{e}^{2}}{r}$，
因为轨道半径之比为1：4，则动能之比为4：1．
答：（1）电子在距离原子核r的圆轨道上做匀速圆周运动的速度大小为$\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{mr}}$；
（2）电子在距离原子核r和4r的圆轨道上做匀速圆周运动的周期之比为1：8；
（3）电子在距离原子核r和4r的圆轨道上做匀速圆周运动的动能之比为4：1．

点评 解决本题的关键知道电子做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．