Question

4．质量为M=1kg、长为L的木板在水平面上受到水平拉力F=7N的作用从静止开始运动，1s末在木板的前端轻轻放上质量为m=1kg的物体（可视为质点），当二者速度相等时物体恰好未离开木板，此时撇去外力F，最终物体和木板在水平面上减速到0，已知物体与木板、木板与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）木板的长度L；
（2）木板的总位移x．

Answer 1

分析 （1）通过牛顿第二定律分别求得木板和物块的加速度，利用运动学公式分别求得1s内木板的位移和1s末的速度，根据速度时间公式求得达到共同速度所需时间，结合位移时间公式求得木板长度
（2）当撤去外力后，物体和木板做匀减速运动，根据运动学公式求得减速运动的位移即可确定木板运动的总位移

解答 解：在力F作用下，木板的加速度为a=$\frac{F-μMg}{M}=\frac{7-0.2×1×10}{1}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
1s末的速度为v₁=at₁=5m/s
1s内的位移为${x}_{\;}=\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×{1}^{2}m=2.5m$
放上物体后，物体的加速度为${a}_{1}=\frac{μmg}{m}=μg=2m/{s}^{2}$
木板的加速度为${a}_{2}=\frac{F-μmg-μ（M+m）g}{M}=1m/{s}^{2}$
两者到达共同速度所需时间为t′，则v₁+a₂t′=a₁t′，
解得t′=5s
5s内木板前进的位移为${x}_{1}={v}_{1}t′+\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}=5×5+\frac{1}{2}×1×{5}^{2}$m=37.5m
木块前进的位移为${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}=\frac{1}{2}×2×{5}^{2}m=25m$
故木板的长度为L=x₁-x₂=12.5m
（2）撤去外力时两者的速度为v′=a₁t′=10m/s
撤去外力后两者的加速度为${a}_{3}=\frac{μ（M+m）g}{M+m}=μg=2m/s$²
减速阶段通过的位移为${x}_{3}=\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{1{0}^{2}}{2×2}m=25m$
故木板通过的位移为x_总=x+x₁+x₂=2.5+37.5+25m=65m
答：（1）木板的长度L为12.5m；
（2）木板的总位移x为65m．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律和运动学过程，关键时抓住物块放在木板前后木板和物块的加速度，抓住速度达到相同所需时间是解决问题的关键