Question

（16分）光滑的斜面倾角θ=30º，斜面底端有弹性挡板P，长2l、质量为M的两端开口的圆筒置与斜面上,下端在B点处， PB=2l，圆筒的中点处有一质量为m的活塞，M=m．活塞与圆筒壁紧密接触，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等为f=mg/2．每当圆筒中的活塞运动到斜面上AB区间时总受到一个沿斜面向上F=mg的恒力作用，AB=l.现由静止开始从B点处释放圆筒．

（1）求活塞位于AB区间之上和进入AB区间内时活塞的加速度大小；
（2）求圆筒第一次与挡板P碰撞前的速度和经历的时间；
（3）圆筒第一次与挡板P瞬间碰撞后以原速度大小返回，求圆筒沿斜面上升到最高点的时间．

Answer 1

（1）a₂=0；（2）3；（3）

（16分）考查牛顿第二定律的综合应用，多物体、多过程问题的受力分析和过程分析．
（1）活塞在AB之上时，活塞与筒共同下滑加速度   a₁=gsin30⁰     （1分）       
活塞在AB区间内时，假设活塞与筒共同下滑，（M+m）gsin30⁰-F=（M+m）a
解得：a=0
对m：受向上恒力F="mg," 此时F-mg sin30⁰-f=0   f刚好等于mg/2，假设成立．（1分）
活塞的加速度a₂=0                   （1分）
(2)圆筒下端运动至A活塞刚好到达B点 此时速度 （1分）       
经历时间t₁,  l=gsin30º t₁²/2               （1分）    
接着m向下匀速．   
M 受力   f-Mg sin30⁰=mg/2-mg/2=0                   （1分）   
所以m 和M都以v₀作匀速运动，到达P时速度即   （1分）          
匀速运动时间t₂="l/" v₀=                              （1分）   
总时间t=3                                   （1分）   
(3)M反弹时刻以v₀上升，m过A点以v₀下滑，以后由于摩擦力和重力，m在M内仍然做匀速下滑，M以加速度a^‘=(Mgsin30⁰+f)/M=g减速，       （1分）      
m离开M时间t₁为               （1分）     
      （1分）  
此时M速度v=v₀-gt₁= ()v₀,                     （1分）      
接着M以加速度a^/=g/2向上减速，t₂=v/a^/=2v/g=2()    （1分）     
              （2分）