Question

如图所示,固定的凹槽水平表面光滑,其内放置U形滑板N,滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面,A和D分别是圆弧的端点,BC段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑块P₁和P₂的质量均为m,滑板的质量M=4m.P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,开始时滑板紧靠槽的左端,P₂静止在粗糙面的B点.P₁以v₀=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下,与P₂发生弹性碰撞后,P₁处在粗糙面B点上,当P₂滑到C点时,滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连,P₂继续滑动,到达D点时速度为零,P₁与P₂可视为质点,取g=10 m/s².问：

（1）P₂在BC段向右滑动时,滑板的加速度为多大？

（2）BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后,P₁与P₂间的距离为多少？

Answer 1

答案   （1）0.8 m/s2      (2)1.9 m0.695 m

解析   （1）将N、P1看作整体,根据牛顿第二定律得：

μ2mg=（M+m）a                                      ①

a= m/s2=0.8 m/s2              ②

(2)设P1到达B点的速度为v,P1从A点到达B点的过程中,根据动能定理有：

mgR=mv2-mv02       `                               ③

代入数据得v=5 m/s                                       ④

因P1、P2质量相等且发生弹性碰撞,所以碰后P1、P2交换速度,即碰后P2在B点的速度为：

vB=5 m/s                                                ⑤

设P2在C点的速度为vC,P2从C点到D点过程中根据动能定理得：

-mgR=-mvC2                                            ⑥

代入数据得vC=3 m/s                                          ⑦

P2从B点到C点的过程中,N、P1、P2作为一个系统所受合外力为零,系统动量守恒,设P2到达C点时N和P1的共同速度为v′.根据动量守恒定律得：

mvB=mvC+(M+m)v′                                        ⑧

v′为滑板与槽的右端粘连前滑板和P1的共同速度.由动能定理

-μ2mgL2=mvC2-mvB2                                 ⑨

μ2mgLN=(M+m)v′2                                 ⑩

L2和LN分别为P2和滑板对地移动的距离,联立⑧⑨⑩得BC长度

l=L2-LN=1.9 m                          

滑板与槽粘连后,P1在BC上移动的距离为l1

-μ1mgl1=0-mv12                                                 

P2在D点滑下后,在BC上移动的距离l2

mgR=μ2mgl2                                          

系统完全静止时P1与P2的间距Δl=l-l1-l2=0.695 m.