Question

7．如图所示，倾角为45⁰的轨道AB和水平轨道BC在四处用一小段光滑圆弧轨道平滑连接，水平轨道上D点的正上方有一探测器，探测器只能探测处于其正下方的物体．一小物块自倾斜轨道AB上离水平轨道BC高h处由静止释放，以小物块运动到B处的时刻为计时零点，探测器只在t=2s～5s内工作．已知小物块与倾斜轨道AB和水平轨道BC间的动摩擦因数分别为μ₁=0.5和μ₂=0.1．BD段长为L=8m，重力加速度g=10m/s²，为使探测器在工作时间内能探测到小物块，求h的取值范围．

Answer 1

分析 小球速度最大时从B运动到D所需时间短，当小球到达D刚好静止时，运动时间最长，据此由运动学公式求得小球在B点的速度范围，再由此分析小球在斜面上下落的高度范围．

解答 解：设物块沿倾斜轨道AB运动的加速度为a₁，由牛顿第二定律有：
mgsin45°-μ₁mgcos45°=ma₁     ①
设物块到达B处的速度为v_B，由速度位移关系有：
${v}_{B}^{2}=2{a}_{1}\frac{h}{sin45°}$     ②
物块在水平轨道BC上做匀减速运动的加速度大小为：a₂=μ₂g     ③
（1）设物块运动到D点时速度恰好为零，这种情况下v_B最小，物块在水平轨道BC上运动的时间最长，则：
${v}_{B}=\sqrt{2{a}_{2}L}=\sqrt{2×0.1×10×8}m/s=4m/s$     ④
又：${t}_{1}=\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}=4s$       ⑤
当物块在t₁=4s时到达D点，联立①②④解得：h₁=1.6m     ⑥
（2）当物块在t₂=2s到达D点时，L=${v}_{B}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$    ⑦
联立①②③⑥解得：h₂=2.5m
为使探测器在工作时间内能探测到小物块，h的取值范围为1.6m≤h≤2.5m．
答：h的取值范围为1.6m≤h≤2.5m．

点评 解决本题的关键是根据运动学公式由工作时间的范围求得物体在B点速度大小的范围，根据牛顿运动定律求得物体运动的加速度，再根据运动学公式求得h的取值．正确的受力分析求解加速度，熟悉的运动学公式推导是正确解题的关键．