Question

在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星．据报道，美国有多颗最先进的KH-1、KH-2“锁眼”系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察 卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点265km（指卫星与地面的最近距离），远地点650km（指卫星与地面的最远距离），质量13.6-18.2t．这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.1m大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心．由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道的半长轴相等，那么，卫星沿圆轨道的周期跟卫星沿椭圆轨道运动的周期相等．请你由上述数据估算这些“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率．地球的半径R=6400km，g取10m/s²．（保留两位有效数字）

Answer 1

分析：根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的等效半径为r=

1

2

(h1+h2+2R)=

1

2

(265+650+6400×2)km=6857.5km．
设卫星绕地球运动的周期为T，根据万有引力定律提供向心力有：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r  和 G

Mm

r12

=m

v2

r1

，其中r₁为远地点距地心距离．物体在地球表面的重力等于万有引力，即G

Mm

R2

=mg，由此可解得T=

2πr

R

r g

和v=R

g r1

，代入数据，可求得侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率．

解答：解：设远地点距地面h₁=650km，近地点距地面h₂=265km，远地点距地心距离为r₁=h₁+R=7050km，
根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的等效半径为
r=

1

2

(h1+h2+2R)=

1

2

(265+650+6400×2)km=6857.5km
设卫星绕地球运动的周期为T，根据万有引力定律提供向心力有：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①
  G

Mm

r12

=m

v2

r1

  ②
物体在地球表面的重力等于万有引力，即G

Mm

R2

=mg  ③
由①③两式可得T=

2πr

R

r g

代入数据T=

2×3.14×6.9×106

6.4×106

×

6.9×106 10

s=5.6×103s
由②③两式可得v=R

g r1

=6.4×106×

10 7.0×106

m/s=7.6×103m/s
答：侦察卫星绕地球运动的周期为5.6×10³s，卫星在远地点处的运动速率为7.6×10³m/s．

点评：本题主要考查了万有引力提供向心力和物体在地球表面的重力等于万有引力这两个关系，这两个关系是解决一切天体问题的关键．