Question

如图，将质量m=2kg的圆环套在与水平面成θ=37°角的足够长直杆上，直杆固定不动，环的直径略大于杆的截面直径，杆上依次有三点A、B、C，s_AB=8m，s_BC=0.6m，环与杆间动摩擦因数μ=0.5，对环施加一个与杆成37°斜向上的拉力F，使环从A点由静止开始沿杆向上运动，已知t=4s时环到达B点．试求：（重力加速度g=l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）F的大小；
（2）若到达B点时撤去力F，则环到达C点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）先根据位移时间公式求出加速度，然后对环受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律列方程求解；
（2）撤去力F后后对环受力分析，受重力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律列方程求解出环的加速度拉力a，再根据位移时间关系求得经过C点时的时间t，到达C的过程分为两部分，一为匀减速上升时到达C点，二是到达最高点后再加速下滑时经过C点，故时间有两个答案．

解答：解：（1）根据题意知，环做匀加速直线运动，则有a1=

2SAB

t2

=1m/s²，对环进行受力分析有：
若Fsin37°＜mgcos37°杆对环的弹力垂直于杆向上，如图：

则有：N+Fsin37°=mgcos37°      ①
Fcos37°-μN-mgsin37°=ma        ②
联立①②代入数据可得：F=20N；
若Fsin37°＞mgcos37°村对环的弹力垂直于杆向下，如图：

则有：Fsin37°=mgcos37°+N     ③
Fcos37°-μN-mgsin37°=ma       ④
联立③④代入数据可得：F=12N  （舍去，不合Fsin37°＞mgcos37°要求）
所以F的大小为20N
（2）撤去力F后对环进行受力分析有：

由题意物体4s后的速度为v=a₁t=4m/s
此时环所受的合力F_合1=μmgcos37°+mgsin37°=ma₂        ⑤
代入数据得a2=μgcos37°+gsin37°=10m/s2，
环向上做初速度为4m/s的匀减速直线运动，故以沿杆向上为正方向，则a2=-10m/s2，所以环停止运动的时间为
t停=

0-v

a2

=

0-4

-10

s=0.4s
环上升的最大位移xmax=

0-v2

2a2

=

0-42

2×(-10)

m=0.8m
根据则环向上匀减速运动经过C点时由位移时间关系得：SBC=vt+

1

2

a2t2代入数据得：t=0.2s，另一值不合题意舍去．
当环运动到最高点，将再次向下匀加速运动，则环在下滑过程中受到的合力为F_合2=mgsin37°-μmgcos37°根据牛顿第二定律得，此时下滑的加速度
a₃=gsin37°-μgcos37°=2m/s²
环最高点离B0.8m，则环加速下滑过程中经过C点时相对于最高点的位移x₃=0.2m根据初速度为为的匀加速直线运动位移时间关系得环下滑时间t₃=

2x3 a3

=

2×0.2 2

s=

5

5

s
则从B点计时，小球经过C点的时间t=t_停+t₃=0.4S+

5

5

s=

2+ 5

5

s
答：（1）F的大小为20N；
（2）若到达B点时撤去力F，则环到达C点所用的时间0.2s或

2+ 5

5

s．

点评：掌握解决动力学两类基本问题的方法和思路：一已知物体的运动求物体的受力，二是已知物体的受力求物体的运动情况．解决这两类问题的关键是桥梁根据牛顿第二定律求出加速度a．