Question

如图所示，质量均为m的物体B．C分别于轻质弹簧的两端栓接，将它们放在倾角为30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x₀．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，与B相碰．已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，且A与B第一次运动达到最高点时，C对挡板D的压力恰好为0，求此简谐运动的振幅；
（3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力也恰好为零．已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为v=

1.5gx0

，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离．

Answer 1

（1）对B，由平衡条件，有：mgsinθ=kx₀，
解得：k=

mg

2x0

（2）设A与B一起做简谐运动在平衡位置时弹簧的压缩量为x₁，则有：
2mgsinθ=kx₁，
设A与B第一次运动到最高点弹簧的伸长量为x₂，则由题意有：
mgsinθ=kx₂，
所以此简谐运动的振幅A=x₁+x₂
解得：A=3x₀，
（3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B碰撞前物体A速度的大小为v₁，则有：
mgxsinθ=

1

2

m

v

21

，得v₁=

gx

设A与B相碰后两物体共同的速度为v₂，对A与B发生碰撞的过程，有：mv₁=2mv₂，得：v₂=

1

2

v1
物体B静止时弹簧的形变量为x₀，设弹性势能为E_p，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，有：

1

2

?2m

v

22

+EP=

1

2

?2mv2+2mgx0sinθ
当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为x₃．
对物体A，从与B分离到最高点的过程，有：

1

2

mv2=mgx₃sinθ
解得：x₃=1.5x₀；
对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0，物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为x₀，弹簧的弹性势能也为E_P．从A、B分离到B运动到最高点的过程，有

1

2

mv2=mgx₀sinθ+E_p；解得：
物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离 d=x-x₀-x₁；
联立以上各式解得：d=6.5x₀；
答：
（1）弹簧的劲度系数k是

mg

2x0

；
（2）此简谐运动的振幅是3x₀；
（3）相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离是6.5x₀．