Question

3．如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在倾角为30°的斜面上，导轨间距为L，导轨下端连接一个阻值为R的定值电阻．匀强磁场垂直斜面向上，磁感应强度大小为B．在斜面上平行斜面固定一个轻弹簧，弹簧劲度系数为k，弹簧上端与质量为m，电阻为r的导体杆相连，杆与导轨垂直且接触良好．导体杆中点系一光滑细线，细线平行斜面，绕过一个定滑轮后悬挂一个质量也为m的物块．初始时用手托着物块，导体杆保持静止，细线拉直，但无拉力．重力加速度为g，导轨电阻不计，释放物块后，求：
（1）释放物块瞬间导体杆的加速度．
（2）导体杆最终将停止运动，则在此过程中电阻R上产生的焦耳热．
（3）导体杆停止运动前，流过电阻R的电荷量．

Answer 1

分析 （1）对导体棒受力分析，利用牛顿第二定律求解即可；
（2）静止时对导体棒受力分析，通过二力平衡计算弹簧的长度的变化量，再有能量守恒求解；
（3）通过计算求得磁通量的变化，由q=$\frac{△Φ}{R+r}$计算电荷量．

解答 解：（1）初始时，弹簧被压缩，弹力大小为：kx₁=mgsinθ，
即：kx₁=$\frac{1}{2}$mg
释放物块瞬间，安培力为零，对杆和物块分析有：
mg+kx₁-mgsinθ=2ma   
得：a=$\frac{g}{2}$
（2）由于电磁感应消耗能量，杆最终速度为零，安培力为零，细线拉力T=mg，弹簧处于伸长状态，对导体杆，弹力为：
kx₂+mgsinθ=T
得：kx₂=$\frac{1}{2}$mg
得：x₁=x₂=$\frac{mg}{2k}$
则弹簧弹性势能不变，对物块、导体杆、弹簧整个系统，由能量守恒得：
mg（x₁+x₂）=mg（x₁+x₂）sinθ+Q   
解得：Q=$\frac{1}{2}$mg（x₁+x₂）=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，Q为整个电路产生的焦耳热
电阻R上产生的焦耳热为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{R{m}^{2}{g}^{2}}{2k（R+r）}$
（3）流过电阻R上的电荷量为：q=$\frac{△Φ}{R+r}$
而△Φ=BL（x₁+x₂）=$\frac{BLmg}{k}$．
解得：q=$\frac{BLmg}{k（R+r）}$
答：（1）释放物块瞬间导体杆的加速度为$\frac{g}{2}$．
（2）导体杆最终将停止运动，则在此过程中电阻R上产生的焦耳热为$\frac{R{m}^{2}{g}^{2}}{2k（R+r）}$．
（3）导体杆停止运动前，流过电阻R的电荷量为$\frac{BLmg}{k（R+r）}$．

点评 本题是导体棒在导轨上滑动的类型，分析杆的运动状态，确定其受力情况是关键，特别是弹簧长度的变化是难点．对于热量，往往根据能量守恒求解．