Question

7．如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L=1m，导轨间连接的定值电阻R=3Ω，导轨上放一质量为m=0.1kg的金属杆ab，金属杆始终与导轨接触良好，杆的电阻r=1Ω，其余电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里，重力加速度g取10m/s²，现让金属杆从AB水平位置由静止释放，求：
（1）金属杆的最大速度；
（2）当金属杆的加速度是5m/s²时，安培力的功率是多大？
（3）若从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q=0.6J，则通过电阻R的电量是多少？

Answer 1

分析 （1）金属杆的重力和受到的安培力的大小相等的时候，受到最大，根据法拉第电磁感应定律计算速度的最大值；
（2）根据牛顿第二定律求出拉力，根据运动学公式求出速度，从而根据P=Fv求出功率P；
（3）应用能量守恒定律求出金属杆下落的高度，然后应用法律的电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，然后由电流定义式的变形公式求出电荷量．

解答 解：（1）设金属杆下落时速度为v，感应电动势为：E=BLv，
电路中的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$
金属杆受到的安培力为：F=BIL，
当金属杆匀速运动时速度最大，
由平衡条件得：F=mg，解得：v=4m/s；
（2）设此时金属杆的速度为v₁，安培力为F₁，
安培力：F₁=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
根据牛顿第二定律有：F₁-mg=ma，
安培力的功率为：P=F₁v₁，
已知a=5m/s²，解得：P=1W．
（3）电路中产生的总焦耳热：
Q_总=$\frac{R+r}{R}$Q=$\frac{3+1}{3}$×0.6=0.8J，
由能量守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²+Q_总，解得：h=1.6m，
平均感应电动势：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLh}{△t}$，
平均电流：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$，
通过电阻R的电荷量：q=$\overline{I}$△t，
解得：q=0.4C；
答：（1）金属杆的最大速度是4m/s；
（2）当金属杆的加速度是5m/s²，安培力的功率是1W；
（3）通过电阻R的电量是0.4C．

点评 本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，综合性强，对学生能力的要求较高，分析清楚金属杆的运动过程是解题的前提与关键．