Question

7．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8m顶部水平高台，接着以v=3m/s水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧两端点，其连线水平．已知圆弧半径为R=1.0m，人和车的总质量为180kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计．（计算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：

（1）从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s．
（2）从平台飞出到达A点时速度及圆弧对应圆心角θ．
（3）人和车运动到圆弧轨道最低点O速度v′=$\sqrt{33}$m/s此时对轨道的压力．
（4）人和车运动到达圆弧轨道A点时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）从平台飞出后，摩托车做的是平抛运动，根据平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，可以求得运动的时间，再根据水平方向上是匀速直线运动，可以求得水平的位移的大小；
（2）由于摩托车恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，说明此时摩托车的速度恰好沿着竖直圆弧轨道的切线方向，通过摩托车的水平的速度和竖直速度的大小可以求得摩托车的末速度的方向，从而求得圆弧对应圆心角θ；
（3）在最低点时，车受到的支持力和车的重力的合力作为圆周运动的向心力，根据向心力的公式求得支持力的大小，再根据牛顿第三定律可以求得对轨道的压力的大小；
（4）从A点开始摩托车做的是圆周运动，此时指向圆心方向的合力作为圆周运动的向心力，对摩托车受力分析，根据向心力的公式可以求得在A点时车受到的支持力的大小，再根据牛顿第三定律可以求得对轨道的压力的大小

解答 解：（1）车做的是平抛运动，很据平抛运动的规律可得
竖直方向上 H=$\frac{1}{2}$gt₂²，
水平方向上 s=vt₂，
可得：s=v$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=1.2m．
（2）摩托车落至A点时，其竖直方向的分速度v_y=gt₂=4m/s
到达A点时速度 ${v}_{A}=\sqrt{{v}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=5m/s$
设摩托车落地时速度方向与水平方向的夹角为α，则
tanα=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{4}{3}$，
即α=53°
所以θ=2α=106°
（3）在最低点，受力分析可得：N-mg=m$\frac{{v′}^{2}}{R}$所以N=7740N
由牛顿第三定律可知，人和车在最低点O时对轨道的压力为7740N．
（4）对摩托车受力分析可知，摩托车受到的指向圆心方向的合力作为圆周运动的向心力，
所以 ${N}_{A}-mgcosα=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得 N_A=5580 N
由牛顿第三定律可知，人和车在最低点O时对轨道的压力为5580 N；
答：（1）从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s为1.2m．
（2）从平台飞出到达A点时速度及圆弧对应圆心角θ为106°；
（3）人和车运动到圆弧轨道最低点O速度v′=$\sqrt{33}$m/s此时对轨道的压力为7740N；
（4）人和车运动到达圆弧轨道A点时对轨道的压力为5580 N．

点评 本题考查的是平抛运动和圆周运动规律的综合的应用，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在了一起，对学生的分析问题的能力要求较高，能很好的考查学生分析解决问题的能力．