Question

如图，在倾角为37°的足够长的光滑斜面上，放一质量为m_A=0.2kg的薄板A,A板上、下段由不同材料构成，下段表面光滑，长度l=3m，上段表面粗糙；质量为的金属块B(视为质点）位于A的最下端,B与A上段间的动摩擦因数μ=0.1；质量为的物块C通过轻线绕过定滑轮与B相连。忽略滑轮质量及轴间的摩擦，A, B间最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。开始时，整个系统在外力作用下，处子静止状态，轻线被拉直。．求：

   （1)撤去外力的瞬间，A, B, C的加速度分别是多大？

    (2)撤去外力后的整个过程中，因摩擦产生的热量Q=？（绳足够长，B始终没滑出A板）

Answer 1

（1）由于m_Bgsin37 ^? = m_cg = 12 N …………………………(1分)

所以，撤去外力的瞬间a_B=a_c=0　 …………………………(2分)

对薄板A，有m_Agsin37 ^? =m_Aa_A ……………………………(1分)

得 a_A = 6 m/s²　　　　 ……………………………(1分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）由于斜面和A板下段表面都光滑，撤去外力后，A板从静止开始向下做匀加速运动，只要金属块B在A板下段表面上，B、C就保持静止不动。A板运动到金属块B在其上段表面上后，B和C受滑动摩擦力作用将一起以相同大小的加速度做加速运动。设A板上段刚滑到B下方时速度为v_A，则

………………………………(1分)

解得v_A = 6 m/s

B在A板上端表面时，设A板加速度为a_A1，B和C加速度为a_B1，轻线拉力为F，则

……………………………(1分)

　 ………………………(1分)

………………………(1分)

解得a_A1= –2 m/s²，a_B1= 0.5 m/s²

A、B、C最终达到速度相等。假设速度相等之后，A、B间的静摩擦力f小于最大静摩擦力f_m，即A、B相对静止，A、B、C三者加速度大小相同，设为a₀，则

a₀= 0.5 m/s²，f=1.1N………………………(1分)

f_m=μm_Bgcos37^?= 1.6N………………………(1分)

即f＜f_m，假设成立，之后A、B相对静止。………………………(1分)

设A、B、C达到相等速度v₁所需时间为t，则

v₁= v_A+ a_A1t = a_B1t　　 ………………………………(1分)

解得t = 2.4 s，v₁=1.2 m/s

设在时间t内， A通过的距离是x_A，B和C通过的距离是x_B，则

x_A= (v_A+ v₁)t/2　 ……………(1分)

x_B= v₁t/2　　　　 ……………(1分)

解得x_A=8.64m，x_B=1.44 m

Q =μm_Bg(x_A–x_B)　 ………………………………(2分)

Q = 14.4J………………………………(2分)