Question

7．如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L．在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场．质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场．已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t₀．不计重力．
（1）求磁场的磁感应强度的大小；
（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为$\frac{4}{3}$t₀，求粒子此次入射速度的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直OA进入磁场中，转过90°，垂直打在y轴上，则t=t₀=$\frac{1}{4}$T，求出周期，由周期公式求B的大小．
（2）画出两个粒子的运动轨迹，设轨迹所对应的圆心角分别为θ₁和θ₂，由几何关系有θ₁=180°-θ₂，可得到时间之和．
（3）根据圆周运动知识知道，两粒子在磁场中运动的时间差△t与△θ=θ₂-θ₁成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ₂的最大值．由△t=$\frac{△θ}{2π}T$和已知条件联立可求出θ₂的最大值，再结合几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律，利用洛伦兹力等于向心力，列式求解速度．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t₀内其速度方向改变了90°，故其周期
T=4t₀ ①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r．由洛伦兹力公式和牛顿定律得
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ②
匀速圆周运动的速度满足v=$\frac{2πr}{T}$  ③
联立①②③式得：B=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$  ④
（2）设粒子从OA变两个不同位置射入磁场，能从OC边上的同一点P射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．

设两轨迹所对应的圆心角分别为θ₁和θ₂．由几何关系有
θ₁=180°-θ₂ ⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t₁与t₂，则
t₁+t₂=$\frac{T}{2}$=2t₀ ⑥
（3）粒子运动轨迹如图所示，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为120°．

设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r₀，圆弧与AC相切与B点，从D点射出磁场，
由几何关系和题给条件可知，此时有
∠O O'D=∠B O'A=60°  ⑦
r₀cos∠OO′D+$\frac{{r}_{0}}{cos∠BO′A}$=L  ⑧
设粒子此次入射速度的大小为v₀，
由圆周运动线速度公式，则有：v₀=$\frac{4\sqrt{3}-3πL}{13{t}_{0}}$   ⑨
答：（1）磁场的磁感应强度的大小为$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$；
（2）该粒子这两次在磁场中运动的时间之和为2t₀；
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为$\frac{4}{3}$t₀，粒子此次入射速度的大小为$\frac{4\sqrt{3}-3πL}{13{t}_{0}}$．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间．