Question

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x＜0的区域内没有电场和磁场，0≤x≤a区域内有一匀强电场区，电场方形沿x轴正方向；x=0处的各点电势为零，x=a处各点电势为φ_a，在x＞a处充满匀强磁场，磁场方向垂直与xOy平面向里，现有一带电粒子，质量为m，电荷量为q，在x=0，y=0的位置由静止开始自由释放，求：
（1）靶子M的坐标是x=a，y=b，带电粒子击中靶子时的速度多大？
（2）磁感应强度为多大时，带电粒子才能击中靶子M？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中加速，由动能定理求带电粒子击中靶子时的速度．
（2）带电粒子可以经电场、磁场各一次后击中靶子，也可能经电场、磁场多次后才击中靶子，如图所示，故轨道半径R有多个值，对应的磁感应强度B也有多个可能值．根据几何关系得到b=2nR，再由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力列式求解．

解答 解：（1）带电粒子从原点由静止释放后，在x≤a的匀强电场区域内被加速，由动能定理得：
q（0-φ_a）=$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$
解得：v_a=$\sqrt{\frac{-q{φ}_{a}}{m}}$，
即带电粒子击中靶子时的速度为：v_a=$\sqrt{\frac{-q{φ}_{a}}{m}}$．
（2）带电粒子可以经电场、磁场各一次后击中靶子，也可能经电场、磁场多次后才击中靶子，如图所示，故轨道半径R有多个值，对应的磁感应强度B也有多个可能值．设带电粒子在磁场中经n（n=1，2，3，…）次偏转后击中靶子M．
根据题意有 b=2nR
由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
qv_aB=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
可得磁感应强度的可能值为：
B=$\frac{2n}{b}$$\sqrt{\frac{-2φ{\;}_{a}m}{q}}$（n=1，2，3，…） 
答：（1）靶子M的坐标是x=a，y=b，带电粒子击中靶子时的速度为$\sqrt{\frac{-q{φ}_{a}}{m}}$．
（2）磁感应强度为$\frac{2n}{b}$$\sqrt{\frac{-2φ{\;}_{a}m}{q}}$（n=1，2，3，…）时，带电粒子才能击中靶子M．

点评 带电粒子在电场中加速，在磁场中匀速圆周运动的问题，往往先根据动能定理求出加速获得的速度，再画出粒子在磁场中运动的轨迹，结合几何知识求出轨迹半径．