Question

（2006?南通一模）如图所示，ABC是由折射率为

2

的某种透明物质制成的直角三棱镜横截面（O为AB的中点），∠A=30°．一束光线在纸面内从O点射入棱镜，光线与AB面间的夹角为α．若不考虑光线在AB和BC面上的反射，则：
（1）若α=45°，请作出光路图并标明相应角度．
（2）要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α（0°＜α＜90°）应满足什么条件？结果可用反三角函数表示．

Answer 1

分析：（1）先根据折射定律求出光线射入AB面后的折射角，由几何知识求出AC面上的入射角，与临界角比较，判断能否发生全反射，再画出光路图．
（2）要使射入O点的光线能从AC面射出，AC面上的入射角应小于临界角．由几何关系求出AC面上恰好发生全反射时，AB面上折射角，再折射定律和全反射条件列式求解．

解答：解：（1）光线射向AB面的入射角i=45°，由折射定律有

sini

sinr

=

2

，解得  r=30°
设该透明物质的临界角为C，则sinC=

1

2

，解得  C=45°
光线射向AC面的入射角θ₁=90°-r=60°＞C，故发生全反射．
而θ₂=θ₁，故反射光线垂直于BC面从棱镜射出，光路图如下图．

（2）由几何关系可知，射向AC面的光线恰好发生全反射时r=15°，设此时α=α₁，则有
  

sin(90o-α1)

sin15o

=

2

  ①
解得α1=90o-arcsin(

2

sin15o)  ②
当α角为90°时，射向AC的光线入射角30°，不会发生全反射，故要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α应满足
  90o-arcsin(

2

sin15o)＜α＜90o  ③
答：
（1）若α=45°，作出光路图如图．
（2）要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α（0°＜α＜90°）应满足的条件是：90o-arcsin(

2

sin15o)＜α＜90o．

点评：本题考查几何光学，关键掌握光的折射定律以及临界角与折射率的大小关系．