Question

如图所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的相同．一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一定的速度v₀平行于x轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R₀的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x=R₀平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场的同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点．不计带电粒子的重力．求：
（1）粒子到达x=R₀平面时的速度v；
（2）M点到坐标原点O的距离x_M．

Answer 1

分析：（1）同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，得到场强与磁感应强度的关系．只有磁场时粒子将做半径为R₀的圆周运动，由牛顿第二定律求出磁感应强度．只有匀强电场时，带电粒子做类平抛运动，由牛顿第二定律求出加速度，运用运动的合成和分解法求出粒子到达x=R₀平面时的速度v；
（2）撤除电场加上磁场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出半径，画出轨迹，根据几何知识求解M点到坐标原点O的距离x_M．

解答：解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，匀强电场的场强和匀强磁场的磁感应强度分别为E和B．
由题意          qE=qBv₀
由牛顿第二定律  qBv0=m

v 2 0

R0

只有匀强电场时，带电粒子做类平抛运动．
由牛顿第二定律  qE=ma
如图所示，带电粒子到达A点时
   v_x=v₀
   v_y=at
   R₀=v_xt
粒子速度大小为 v=

v 2 x + v 2 y

解得       v=

2

v0
设速度v的方向与x轴正方向的夹角为θ，则  tanθ=

vy

vx

解得        θ=

π

4

（2）撤除电场加上磁场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆轨道半径为R，
由牛顿第二定律  qBv=m

v2

R

解得            R=

2

R0
粒子运动轨迹如图所示，A点到x轴的距离为   H=h+

1

2

at2=h+

R0

2

圆心C位于与速度v方向垂直的直线上，由几何关系，该直线与x轴负向和y轴负向的夹角均为

π

4

则C点坐标为    x_C=2R₀，yC=H-R0=h-

R0

2

过C点作x轴的垂线，垂足为D，在△CDM中，

.

CM

=R=

2

R0，

.

CD

=yC=h-

R0

2

.

DM

=

. CM 2- . CD 2

，xM=

.

OD

+

.

DM

解得  xM=2R0+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

．
答：
（1）粒子到达x=R₀平面时的速度v是

2

v0，方向与x轴正方向的夹角为

π

4

．
（2）M点到坐标原点O的距离x_M为2R₀+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

．

点评：本题是综合性很强的带电粒子在电磁场中运动的问题，对电场中运动的合成与分解法、磁场中画轨迹，运用几何知识求距离等等方法要熟练，难度较大．