Question

（12分）如图所示，一个圆弧形光滑细圆轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，A点与水平地面AD相接，地面AD与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R，厚度不计的垫子，左端M正好位于A点。将一个质量为m，直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力。

（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？

（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，释放点离A点的高度如何？

Answer 1

解：（1）小球离开C点后做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，设平抛运动的时间为t，从C点射出的速度为。

根据运动学公式得：

R=     ①

R=        ②

小球以水平速度经过C点时，受到管子对它竖直向上的作用力，

  ③

联立①②③可得：=

由牛顿第三定律可知，小球对管子作用力大小为，方向竖直向下。

       （2）小球静止释放的高度最小时，小球运动的水平位移为R，打到M点。能够落到M点的水平速度为，设小球离A点的最小高度为

    mg（-R）=       ④

    联立①②④可得：=

       小球静止释放的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点。设能够落到N点的水平速度为

4R=           ⑤

设小球离A点的最大高度为，有动能定理可得：

mg（-R）=  ⑥

联立①⑤⑥可得：=5R

故释放点离A点的高度：