Question

8．如图为过山车的模型图，在模型图中半径为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接，现使小车（视为质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{24}$，取g=10m/s²，（sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）若小车恰好能过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点初速度为多大？
（2）若小车质量为1000Kg，在P点的初速度为10m/s，则小车通过B点时对轨道的压力多大？

Answer 1

分析 （1）抓住小球能过A点的临界条件，根据动能定理求解小球在P点的初速度大小；
（2）根据动能定理求得小车在B点的速度，再根据牛顿运动定律求得小车对轨道的压力大小．

解答 解：（1）小车经过A点时的临界速度满足：$mg=m\frac{v_1^2}{R_1}$
解得临界速度${v}_{1}=\sqrt{g{R}_{1}}$       ①
由几何关系，令PQ间距为L₁，则有：
${L_1}=\frac{{{R_1}（1+cosα）}}{sinα}$       ②
P到A对小车，同动能定理得：
$-（μmgcosα）{L_1}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_{10}^2$           ③
由①②③式解得：在P点的初速度大小v₁₀=$2\sqrt{6}m/s$
（2）Z点与P点高度差为h₂=0，PZ间距为L₂，则由几何关系可得：
${L_2}=\frac{{{R_2}（1+cosα）}}{sinα}$       ④
P到Z对小车，同动能定理得：
$-（μmgcosα）{L_2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_{20}^2$        ⑤
又$mg+T=m\frac{v_2^2}{R_2}$                ⑥
由④⑤⑥解得：$T=m\frac{v_2^2}{R_2}-mg=2000（N）$
由牛顿第三定律可得车对轨道压力为T'=2000N，方向垂直轨道向上．
答：（1）若小车恰好能过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点初速度为$2\sqrt{6}m/s$；
（2）若小车质量为1000Kg，在P点的初速度为10m/s，则小车通过B点时对轨道的压力为2000N．

点评 解决本题的关键是抓住竖直面内圆周运动在能通过最高点的临界条件，并能根据几何关系确定物体沿斜面下滑的距离．