Question

在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可以在黑色圆盘上形成太阳的像．已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍．圆盘的导热性极好，圆盘与地面之间的距离较大．设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩-玻尔兹曼定律：在单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为W=σT⁴，式中σ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T为辐射体表面的绝对温度．对太而言，取其温度t s=5.50×1030C．大气对太阳能的吸收率为α=0.40．又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩-玻尔兹曼定律向外辐射能量．如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？

Answer 1

考点：透镜成像规律,能量守恒定律

专题：

分析：先根据能量守恒定律和斯特藩-玻尔兹曼定律估算地球表面单位面积单位时间的接受到的太阳辐射能量，再根据斯特藩-玻尔兹曼定律估算薄圆盘的温度．

解答：解：根据斯特藩-玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位单位面积向外发射的能量为：
W_s=δ

T

4 s

          ①
其中δ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T_s为太阳表面的绝对温度；若太阳的半径为R_s，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为：
Ps=4π

R

2 s

Ws      ②
单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是P_s，设太阳到地球的距离为r_s，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R的透镜接受到的太阳辐射的能量为：
P=πR2(1-α)

Ps

4π r 2 s

  ③
薄透镜将把这些能量汇聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收；
另一方面，由于薄圆盘也向外辐射能量，设圆盘的半径为R_D，温度为T_D，注意到薄圆盘有两个表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为：
P_D=2π

R

2 D

?δ

T

2 D

       ④
显然，当
 P_D=P           ⑤
即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高，由①②③④⑤各式得到：
TD=[(1-α)

R2 R 2 s

2 r 2 s R 2 D

]

1

4

Ts  ⑥
根据题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径的2倍，即RD=2

R

′ s

；
由透镜成像公式，有：

R ′ s

f

=

Rs

rs

            ⑦
固有：
RD=2

Rs

rs

f          ⑧
将⑧式代入⑥式，有：
TD=[(1-α)

R2

8f2

]

1

4

Ts
代入数据，注意T_s=（273.15+t_s）K，有：
T_D=1.4×10³K
即有：
t_D=T_D-273.15=1.1×10³°C
答：薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为1.1×10³摄氏度．

点评：本题关键是建立热学模型，要多次根据斯特藩-玻尔兹曼定律和能量守恒定律列方程，较难．