Question

7．在探测某未知天体的过程中，宇航员在一定高度绕该天体转n圈用时t秒，用激光测出高度为h，然后升高到距地面4h处绕天体转动，测得n圈用时2.82t秒（计算时用2$\sqrt{2}$t秒）最后返航（引力常量为G）
（1）求该天体的密度；
（2）求该天体不瓦解的最小自转周期．

Answer 1

分析 （1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律分两次列式求解天体的半径和质量；
再根据密度的定义求解该天体的密度；
（2）天体达到不瓦解的最小自转周期时，赤道物体的重力恰好提供向心力．

解答 解：（1）卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{{\frac{t}{n}}}）^2}（R+h）$
$G\frac{Mm}{{{{（R+4h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{{\frac{t}{2.82n}}}）^2}（R+4h）$
联立解得：
R=2h
$M=\frac{108{π}^{2}{n}^{2}{h}^{3}}{G{t}^{2}}$   ①
故密度：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{108{π}^{2}{n}^{2}{h}^{3}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{81π{n}^{2}}{8G{t}^{2}}$
（2）天体达到不瓦解的最小自转周期时，赤道物体的重力恰好提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{R^2}=m{（\frac{2π}{{{T_{min}}}}）^2}R$
解得：
T_min=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$   ②
联立①②解得：
T_min=$\frac{2\sqrt{6}t}{9n}$
答：（1）该天体的密度为$\frac{81π{n}^{2}}{8G{t}^{2}}$；
（2）该天体不瓦解的最小自转周期为$\frac{2\sqrt{6}t}{9n}$．

点评 本题关键是明确卫星的动力学原理，根据牛顿第二定律列式分析，注意第二问不要思维定势，不难．