Question

10．如图甲所示，一个竖直放置足够长的光滑U型轨道，轨道的宽度为L且下端接一个阻值为R的电阻，在轨道某一区域内有垂直导轨向里的磁场，磁场的上下边界与轨道垂直，磁场的高度和宽度也为L，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，一个质量为m、电阻为r的金属棒垂直轨道固定在距磁场上边界高同样为L的地方，并从t₀时刻开始释放金属棒，金属棒进入磁场在没有离开前已经开始匀速．（图乙中所标明的量均为已知，重力加速度为g）求：
（1）0-t₀时间内通过R的电量；
（2）导体棒穿越磁场过程中电阻R产生的焦耳热；
（3）金属棒经过磁场区域的时间．

Answer 1

分析 （1）在0-t₀时间内，根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，结合欧姆定律得出感应电流的大小，从而根据q=It求出0-t₀时间内通过R的电量；
（2）根据动能定理求出导体棒进入磁场时的速度，抓住导体棒匀速运动时重力和安培力相等，得出匀速运动时的速度，结合动能定理求出克服安培力做功，得出整个回路产生的热量，从而求出电阻R上产生的焦耳热．
（3）根据动量定理，结合金属棒经过磁场区域时通过的电量，求出金属棒经过磁场区域的时间．

解答 解：（1）在0-t₀时间内，根据法拉第电磁感应定律得，E=$\frac{△B}{△t}S$，
又S=L²，$\frac{△B}{△t}=\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$，
解得E=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}}$，
则感应电流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}（R+r）}$，
通过R的电量q=It₀=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R+r}$．
（2）根据动能定理得，mgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，解得${v}_{1}=\sqrt{2gL}$，
金属棒匀速运动时有：$mg={B}_{0}IL=\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
解得${v}_{m}=\frac{mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
根据动能定理得，mgL-W_A=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
整个回路产生的热量Q=W_A=$2mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
则电阻R上产生的热量${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{R}{R+r}[2mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}]$．
（3）对整个过程，运用动量定理得，$mgt-B\overline{I}Lt=m{v}_{m}-m{v}_{1}$，
即mgt-qB₀L=mv_m-mv₁，
而q=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R+r}$，
解得t=$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{mg（R+r）}+\frac{m（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}-\frac{\sqrt{2gL}}{g}$．
答：（1）0-t₀时间内通过R的电量为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R+r}$；
（2）导体棒穿越磁场过程中电阻R产生的焦耳热为$\frac{R}{R+r}[2mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}]$；
（3）金属棒经过磁场区域的时间为$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{3}}{mg（R+r）}+\frac{m（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}-\frac{\sqrt{2gL}}{g}$．

点评 金属棒在运动过程中克服安培力做功，把金属棒的动能转化为焦耳热，在此过程中金属棒做加速度减小的减速运动；对棒进行受力分析、熟练应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、动能定理等正确解题．