Question

（2006?邵阳模拟）一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1，2，3，…n的物块，所有物块的质量均为m，与木板间的摩擦因素都相同，开始时，木板静止不动，第1，2，3，…n号物块的初速度分别是v₀，2v₀，3v₀，…，nv₀，方向都向右，木板的质量与木块的总质量相等，最终所有的物块与木板以共同速度匀速运动，设物块之间均无相互碰撞，木板足够长．试求：
（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度v_n
（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v₁
（3）通过分析和计算说明第k号（k＜n）物块的最小速度v_k．

Answer 1

分析：（1）A、B、C三个物体组成的系统，所受合外力为零，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出最终A、B、C的共同速度．
（2）根据动量守恒定律和动量定理研究，求出A与C刚相对静止时B的速度．
（3））第1号物块到达速度v1=

1

2

v0之后，又会随木板做加速运动．所以

1

2

v0就是第1号物块的最小速度．同理可得，第k号（k＜n）物块的最小速度就是它与木板相对静止的瞬间的速度．

解答：解：（1）根据动量守恒定律得：mv₀+2mv₀+3mv₀+…+nmv₀=2nmv_n
解得：vn=

1

4

(n+1)v0  
（2）设经过t时间，第1号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v₁，根据动量定理得
   对第一个木块：-μmgt=m（v₁-v₀）
   对木板：n?μmgt=nmv₁
联立以上二式，解得：v1=

1

2

v0；μmgt=

1

2

mv0
  （3）第1号物块到达速度v1=

1

2

v0之后，又会随木板做加速运动．所以

1

2

v0就是第1号物块的最小速度．同理可得，第k号（k＜n）物块的最小速度就是它与木板相对静止的瞬间的速度．
设经过t₂时间，第2号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v₂，根据动量定理得
   对第2个木块：-μmgt₂=mv₂-（2mv₀-μmgt）
   对木板和第1个木块：（n-1）μmgt₂=（n+1）m（v₂-v₁）
联立以上二式 v2=

2n-1

2n

v0；μmgt2=

2n+1

2n

mv0

设经过t₃时间，第3号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v₃，根据动量定理得
   对第3个木块：-μmgt₃=mv₃-（3mv₀-μmgt-μmgt₂）
   对木板和2个木块：（n-2）μmgt₃=（n+2）m（v₃-v₂）
?
?
?
设经过t_k时间，第k号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v_k，根据动量定理得
   对第k个木块：-μmgt_k=mv_k-（kmv₀-μmgt-μmgt₂…μmgt_k）
   对木板和（k-1）个木块：[n-（k-1）]μmgt_k=[n+（k-1）]m（v_k-v_k-1）
联立以上各式，解得：vk=

(2n+1-k)kv0

4n

答：（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度vn=

1

4

(n+1)v0；
（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v1=

1

2

v0；
（3）通过分析和计算说明第k号（k＜n）物块的最小速度vk=

(2n+1-k)kv0

4n

．

点评：本题的运动过程比较复杂，研究对象比较多，按程序法进行分析，考查解决综合题的能力．