Question

19．如图所示，在水平地面上有一条足够长直轨道，只有AB段粗糙，AB段长为3L，其余部分均光滑．以B点为分界线，B点左侧存在方向水平向右的匀强电场，每个小物体所受的电场力为本身重力的0.25倍．有若干个相同的小方块（每个小方块视为质点）沿水平靠在一起，总长为L，总质量为M，但不粘接．每个小方块质量都相等，都带有等量的正电荷（各小方块在运动过程中电荷量保持不变），开始时用外力控制，所有物体均处于静止状态，最前端（最右端）距A点为2L．在某一时刻将它们又静止释放，当最前端运动到A点右侧距A为$\frac{L}{2}$时小方块运动的速度达到最大．（重力加速度为g）
（1）小方块与粗糙地面的动摩擦因数μ为多少？
（2）已知所有物体最终均静止于AB之间，求物体静止时的位置？
（3）要使所有物体都能通过B点，由静止释放时物块的前端（最右端）距A点的距离至少为多少？
（4）如果所有的方物块都已经超过B点，这些方物块从B点射出时的动能会各不相同，试求所有物块动能之和的最小值为多少？

Answer 1

分析 受力平衡时速度最大，动能定理求位移，速度；功能关系求解即可．

解答 答：（1）设方物块的总个数为N，速度最大时，合外力为零，有：NqE=$\frac{1}{2}$μNmg
代入数据解得：μ=0.5
（2）所有物块在进入AB区域的过程中，物块间不会分离，摩擦力先由零逐渐增大，并且随位移均匀增大，完全进入后，摩擦力为恒力．设物块最终静止时最右端离A点距离为x₁，由动能定理得：
NqE（2L+x₁）=$\frac{1}{2}$μNmgL+μNmg（x₁-L）
解得：x₁=3L，即物块最右端刚好停在B点
（3）只要物块的后端（最左端）能通过B点，则所有方块都能通过B点，设物块的前端（最右端）距A点的距离为x₂处由静止释放，物块刚好全部进入时的速度为v，有：
NqE（L+x₂）-$\frac{1}{2}$μNmgL=$\frac{1}{2}$Nmv²
从刚好全部进入AB区域，到全部离开AB区域的过程中，最后一个方物块的加速度保持不变，有：
（qE-μmg）×3L=0-$\frac{1}{2}$mv²
联立求解得：x₂=3L   
（4）因为B点右侧光滑，每个物块离开B点后，各物块的速度不同，物块之间将有间距发生．假设将AB区域向右无限延长，从x₂=3L处由静止释放，物块的最左端刚好到达B处静止时，所有物块均同时静止．每个物块在B点的初动能等于各自的合外力做的功，合外力为F_合=μmg-Eq，方向均向左，向右的平均位移为L由功能关系得：
E_K总=$\frac{N}{2}$（μmg-qE）×L=$\frac{M}{2m}$（μmg-qE）×L=$\frac{1}{8}$MgL
答：
（1）小方块与粗糙地面的动摩擦因数μ为0.5
（2）已知所有物体最终均静止与AB之间，物体静止时的位置为B点
（3）要使所有物体都能通过B点，由静止释放时物块的前端（最右端）距A点的距离至少为3L
（4）如果所有的方物块都已经超过B点，这些方物块从B点射出时的动能会各不相同，试求所有物块动能之和的最小值为$\frac{1}{8}$MgL

点评 考查了动能定理的灵活运用，求速度、位移；合理运用功能关系求能量，难度一般．