Question

如图所示，真空中有以O′为圆心，r为半径的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度为B。圆的最下端与x轴相切于直角坐标原点O，圆的右端与平行于y轴的虚线MN相切，在虚线MN右侧x轴上方足够大的范围内有方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场，在坐标系第四象限存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小也为B的匀强磁场，现从坐标原点O沿y轴正方向发射速率相同的质子，质子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，然后进入电场到达x轴上的C点。已知质子带电量为+q，质量为m，不计质子的重力、质子对电磁场的影响及质子间的相互作用力。求：

（1）质子刚进入电场时的速度方向和大小；
（2）OC间的距离；
（3）若质子到达C点后经过第四限的磁场后恰好被放在x轴上D点处（图上未画出）的一检测装置俘获，此后质子将不能再返回电场，则CD间的距离为多少。

Answer 1

（1） 方向沿x轴正方向 （2）r+ （3）

试题分析：（1）质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
根据牛顿第二定律得qvB=
解得  
质子运动轨迹如下图，

因为圆形匀强磁场区域的半径为r，质子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为r，所以四边形是菱形，由几何知识知，质子刚进入电场时的速度方向沿x轴正方向．
（2）质子沿y轴正方向射入磁场，则以N为圆心转过圆弧后从A点垂直电场方向进入电场，进入电场后质子做类平抛运动，设质子电场中运动时间t ， 则在y方向上有
由牛顿第二定律得   qE=ma
解得　
在x方向上，由题意可知x₁=ON=r　
电场中x₂=NC=v
所以OC间的距离为x=x₁+ x₂ =r+
（3）设质子出电场时在竖直方向的速度为，质子合速度为，则
质子合速度与x轴正向夹角的正弦值为sinθ=
质子到达C点后进入第四限的磁场的运动轨迹如下图所示，设质子在第四限磁场中运动的轨道半径为R．

根据圆的性质，由几何知识得：
x₃="CD=" 2R sinθ
质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得qvB=，
运动半径
以上各式联立解得：x₃="CD=" 2==